hdu2048 全錯位排序問題

hdu2048是全錯位排序的題目！歐拉給我們證明了可以直接套用公式

f(n)=  nf(n-1)+(-1)^(n-2)  或  nf(n-1)+(-1)^(n)                   n=2,3,4……

兩個其實等價的 我個人是用後面那個的

本文最後面是歐拉關於裝錯信封問題的求解思路。如果有興趣的可以看看。

附上代碼：

#include<cstdio>
#include<cmath>
int main()
{
 int n;
    long long s=1;
 long long f[21];
 long long g[21];
 f[2]=1;
 f[3]=2;
 g[2]=2;
 g[3]=6;
 for(int i=4;i<=20;++i)
 {
  f[i]=i*f[i-1]+pow((double)-1,i);
  g[i]=g[i-1]*i;
 }
 int t;
 scanf("%d",&t);
 while(t--)
 {
  scanf("%d",&n);
  printf("%.2lf%%\n",double(f[n])/g[n]*100);
 }
 return 0;
}

 

 

 

 

 

全錯位排列：即被著名數學家歐拉，稱爲組合數論的一個妙題的“裝錯信封問題”。

“裝錯信封問題”是由當時最有名的數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的兒子丹尼爾·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出來的，大意如下：

一個人寫了n封不同的信及相應的n個不同的信封，他把這n封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的裝法有多少種？

簡單排列

1個元素沒有全錯位排列，2個元素的全錯位排列有1種，3個元素的全錯位排列有2種，4個元素的全錯位排列有9種，5個元素的全錯位排列有44種。

遞推公式

歐拉按一般情況給出了一個遞推公式：

用A、B、C……表示寫着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相應的寫好的信紙。把錯裝的總數爲記作f(n)。假設把a錯裝進B裏了，包含着這個錯誤的一切錯裝法分兩類：

（1）b裝入A裏，這時每種錯裝的其餘部分都與A、B、a、b無關，應有f(n-2)種錯裝法。

（2）b裝入A、B之外的一個信封，這時的裝信工作實際是把（除a之外的）份信紙b、c……裝入（除B以外的）n－1個信封A、C……，顯然這時裝錯的方法有f(n-1)種。

總之在a裝入B的錯誤之下，共有錯裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C，裝入D……的n－2種錯誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯裝法，因此:

f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}

公式可重新寫成 f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] (n>2)

於是可以得到

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

=((-1)^2)[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]

=((-1)^3)[f(n-3)-(n-3)f(n-4)]

=……

=[(-1)^(n-2)][f(2)-2f(1)]   =   f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n-2)  =  nf(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……