hdu2048 全错位排序问题

hdu2048是全错位排序的题目！欧拉给我们证明了可以直接套用公式

f(n)=  nf(n-1)+(-1)^(n-2)  或  nf(n-1)+(-1)^(n)                   n=2,3,4……

两个其实等价的 我个人是用后面那个的

本文最后面是欧拉关于装错信封问题的求解思路。如果有兴趣的可以看看。

附上代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
int main()
{
 int n;
    long long s=1;
 long long f[21];
 long long g[21];
 f[2]=1;
 f[3]=2;
 g[2]=2;
 g[3]=6;
 for(int i=4;i<=20;++i)
 {
  f[i]=i*f[i-1]+pow((double)-1,i);
  g[i]=g[i-1]*i;
 }
 int t;
 scanf("%d",&t);
 while(t--)
 {
  scanf("%d",&n);
  printf("%.2lf%%\n",double(f[n])/g[n]*100);
 }
 return 0;
}

 

 

 

 

 

全错位排列：即被著名数学家欧拉，称为组合数论的一个妙题的“装错信封问题”。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

简单排列

1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。

递推公式

欧拉按一般情况给出了一个递推公式：

用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:

f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}

公式可重新写成 f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] (n>2)

于是可以得到

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

=((-1)^2)[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]

=((-1)^3)[f(n-3)-(n-3)f(n-4)]

=……

=[(-1)^(n-2)][f(2)-2f(1)]   =   f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n-2)  =  nf(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……