題目:
冒泡排序的交換次數
給定一個1~n的排列a,..,an-,求對這個數列進行冒泡排序所需要的交換次數(冒泡排序是每次找到滿足a>a+t的i,並交換a;和a++t,直到這樣的i不存在爲止的算法)。
限制條件
●1≤n≤100000
輸入
n=4,a={3,1,4,2}
輸出
3
分析:
冒泡排序的複雜度是O(n^2),所以無法通過模擬冒泡排序的過程來計算需要的交換次數。不過我們可以通過選取適當的數據結構來解決這個問題。
首先,所求的交換次數等價於滿足i<j, ai>aj的(i,j)數對的個數(這種數對的個數叫做逆序數)。而對於每一個j, 如果能夠快速求出滿足i,<j,ai>aj 的i的個數,那麼問題就能迎刃而解。我們構建一個值的範圍是1~n的BIT,按照j=0, 1, 2, . n-1的順序進行如下操作。
■把j-(BIT查 詢得到的前aj項的和)加到答案中
■把BIT中aj位置上的值加1
對於每一個j, (BIT查詢得到的前aj項的和)就是滿足i<j, ai>aj的I 的個數。因此把這個值從j中減去之後,得到的就是滿足i<j, ai>aj,的的個數。由於對於每一個j的復 雜度是0(logn),所以整個算法的複雜度是O(n log n)。
實現:
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int n;
const int maxn = 1e9;
vector<int>bit(maxn);
void add(int i,int x) {
while(i<maxn) {
bit[i]+=x;
i+=i&-i;
}
}
int sum(int i) {
int ans=0;
while(i>0) {
ans+=bit[i];
i-=i&-i;
}
return ans;
}
int main() {
cin>>n;
int res=0;
for(int i=0; i<n; ++i) {
int t;
cin>>t;
res+=i-sum(t);
add(t,1);
}
cout<<res;
return 0;
}