如何寫出三體的MATLAB程序-理論分析篇
寫在前面
之所以寫這個程序，是因爲某天晚上無聊，室友正在學習MATLAB，於是提議寫一個三體運動的物理模擬程序來練練手。就此，我也寫一份該程序來爲室友做一個參考標準，希望可以幫助室友進步的更快。
做出來的效果圖大概這樣子
本系列所有代碼均在我的Github中存有備份，可下載後直接運行，點擊Github: HanpuLiang/Three-Body-by-MATLAB即可進入。
三體簡介
三體一般指的就是三個物體受到相互之間的引力作用的影響而運動。一般來說，因爲其運動方程太過於複雜，所以並沒有解析解，並且因爲對初值的敏感性，略微變化一點初始條件就會對未來長遠的結果產生巨大的影響。
在沒有解析解的情況下，只能通過數值解的方法對微分方程組求解。所以數值解的誤差也受計算步長的影響，計算步長越小越精確，但是因爲數據一定會有精度，並不能真正的無窮小，所以實際上在時間足夠長以後依舊會產生很大的誤差。
綜合很多原因，纔會有了大劉《三體》的劇情，不然憑藉三體人那麼厲害的科技水平還怎麼還是選擇來搞地球。
不過說到底，解不開這樣的問題還是目前人類的數學水平不行，或許以後就有辦法了呢？
但是我們這裏並不用分析力學的方法求解，因爲手頭沒有演草紙，推方程有點麻煩，所以直接用經典力學的方法去模擬整個運動，這樣子相信有點物理基礎的大家也是可以看懂的。
運動過程分析
我們首先需要思考：
- 三個小球到底是怎麼運動的？引力作用。
- 小球運動，哪些量在變化？位置改變導致引力大小改變，引力導致加速度改變，加速度導致速度改變，速度導致位置改變。
也就是說，我們只需要集中在三個物理量上面就好：座標，速度(大小與方向)，加速度(大小與方向)。這就是我們所需要，隨着時間變化的，計算的所有數據。
接下來就要開始引進物理公式了。
兩個物體之間的加速度
首先，兩個物體之間的萬有引力可以通過公式
來計算，其中是物體1的質量，
是物體2的質量，
是引力系數(模擬中爲方便可以設爲1)，
爲物體1與物體2之間的直線距離。
根據力與加速度的公式就可以得到，在
時刻，物體之間相對距離爲
時(用上一次時間的距離算)，加速度爲
兩個物體之間的速度
在單位時間內，兩個小球之間的速度變化量
爲
，所以可以得到
時刻的速度爲
兩個小球的位置
令兩個小球的座標分別爲，則相對距離爲
同理，在時刻，受到速度由
變化到
的影響，可以簡單的得到此時刻的距離爲
其中
矢量的正交分解
衆所周知，位置、速度、加速度均爲矢量，即存在方向和大小這兩種屬性，也就是說我們需要考慮矢量方向不一致時的情況。
將矢量正交分解爲軸與
軸是最簡單方便的做法。
首先是座標，這個已經是分解到了軸與
軸這個座標系上了，畢竟我們寫出來的就是兩個點的座標，如果誰還不會用座標點繪圖就可以點右上角退出界面了。
其次是速度與加速度。我們以物體自身爲原點建立座標系，速度大小爲，方向相對
軸正方向爲
度，可以得到一個矢量如圖所示。根據高中知識，就可以得到其在
軸與
軸上的分解爲
同樣的，加速度也可以這樣子分解，得到
而且，軸上的加速度只會影響
軸上的速度，所以我們分解後，在計算時，只需要分別計算
軸的座標變化即可，不需要再考慮方向，即
這樣子，我們就將方向成功分解爲軸分解進行計算，大大化簡了繁瑣的方向變化問題。
矢量的疊加
但是這只是兩個物體之間的相互作用，如果是三個物體的話，其中一個物體就要受到兩個力的作用。
實際上兩個力是沒有受到干擾的，所以當其分解到軸後，直接將其對應軸上的加速度直接相加即可得到總的加速度，也就是
其中就是物體1在
軸上的總的加速度，它由兩個分加速度組成:來自物體2對物體1的力的、在
軸的加速度
和來自物體3對物體1的
。
其他同理，這樣子就可以完美解決所有問題了。
代碼思路
根據上面的公式分析，加速度、速度、距離之間如何變化已經很清楚了，三個物體之間的各個物理量的正交分解也很明確了，已經可以轉化爲了代碼可以實現的情況，下面我們就需要將公式化成代碼。
不過因爲這一篇博客已經比較長了，所以將本篇作爲理論分析篇，下一篇博客中我們再進行詳細解釋代碼。
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