上網查資料的時候偶然間看到一道百度的面試題,題意大概如下:
一個桶,100個黑球100個白球,每次取走兩個球,如果同色則放入一個黑球,如果異色則放入一個白球。求最後只剩下一個黑球的概率。
思考過程:
一、首先排除了計算機模擬的思路,因爲最後答案要求的概率,計算機模擬出的都是頻率,所以這個方法肯定行不通,kill。
二、用算,當然肯定希望每次取的概率能夠累加化簡,做了一會兒,發現貌似不行,而且仔細一想,這不是數學題,不可能考排列組合數的計算,所以kill。
三、題目有特點,對稱形式,黑球和白球的數量相同,取走放入方法相似(同色放黑球,異色放白球,初始時同色異色的概率相同),這樣,答案只可能有三種:0、1、0.5,沒誰了。
解題過程:
正推,分支太多,計算量太大。正難則反,逆推。如果最後要剩下一個黑球,只可能是取走兩個同色球(2黑或2白),再放入一球(黑),所以,是不是所有的情況都可以化爲這兩種情況(2黑或2白)。待定。
尋找取球的本質,一共三種取球方式:
1.取走2白 | 再放入1黑 | 2白換1黑 |
2.取走2黑 | 再放入1黑 | 取走1黑 |
3.取走1黑1白 | 再放入1白 | 取走1黑 |
雖然球是這麼多,但是肯定是化歸成2白或2黑的形式,或者說最後肯定會化歸成1黑的形式。
不能被球的數量干擾,試着去探索題目的本質,答案似乎很接近了。
正解:
如果是取2白,最後會全部變成黑球,最後只剩1黑;
如果是取2黑,最後會剩1黑,白球不變。接下來:一、如果取2白,最後全部變成黑球,最後只剩1黑;二、如果取1黑1白,等效於取走1黑,最後只剩黑球,最後只剩1黑。
如果是取1黑1白,再放入1白,等效於取走1黑,最後只剩白球。只能全部取白球,最後全部變成黑球;或者1黑1白地取,最後也是化歸爲全白,最後只剩2白,最後只剩1黑。
所以概率爲1。
推廣:
根據化歸的思路,很容易推廣至一般情況:
如果白球的個數是奇數(黑球數量同白球),則只剩1白球;
如果白球的個數是偶數(黑球數量同白球),則只剩1黑球。