3. 運算電路基礎

3.1 數字邏輯電路基礎

1. 布爾代數

• 0和1分別代表邏輯值“假”和“真”
• 最基本的邏輯運算有：

與（AND）	或（OR）	非（NOT）
“ • ” ( “ ∧” )	“ + ” ( “ ∨ ” )	“ ¯ ” ( “ ﹁ ” )

任何一種邏輯表達式都可寫成 這三種基本運算的邏輯組合

例如，異或（XOR）運算的 邏輯表達式爲： $A⊕B=A• \overline B+\overline A•B$,異或運算也稱不等價運算。

2. 門電路

（1）一位邏輯門電路

• 三種基本門電路：與門、或門、非門
• 其他門電路可以由三種基本門電路組合形成（如異或門電路）
  

（2）n位邏輯門電路

（3）組合邏輯部件

• 根據電路是否具有存儲功能，將邏輯電路劃分爲兩種類型
   –組合邏輯電路：沒有存儲功能，其輸出僅依賴於當前輸入
   –時序邏輯電路：具有存儲功能，其輸出不僅依賴於當前輸入 ，還依賴於存儲單元的當前狀態
• 可以利用基本邏輯門電路構成一些具有特定功能的組合邏輯部件 （功能部件）
   –如譯碼器、編碼器、多路選擇器、加法器等
• 實現一個功能部件的過程 （邏輯函數的化簡）
   ①用一個真值表描述功能部件的輸入和輸出之間的關係
   ②根據真值表確定邏輯表達式
   ③根據邏輯表達式實現邏輯電路

3. 組合邏輯部件

（1）多路選擇器

最簡單的多路選擇器（MUX）是二路選擇器
 – 有兩個輸入端A和B，一個輸出端F，並有一個控制端S，
 – 其功能是 ：當S爲0時，F=A；當S爲1時，F=B。

k路選擇器應有k路輸入，因而控制端S的位數應是「log2k」
 – 例如，三路或4路選擇器，S有兩位；5~8路選擇器，S有3位。

（2）一位加法器（全加器）

一位加法器稱爲全加器
 – 兩個加數爲A和B
 – 低位進位爲Cin
 – 和爲F
 – 向高位的進位爲Cout

化簡後，邏輯表達式如下:
$F=A⊕B⊕Cin\\Cout=A •B+A •Cin+B •Cin$

（3）n位加法器

• n位加法器可用n個全加器實現
  
  加法由邏輯部件實現，而其他所有算術運算部件都基於加法器 和邏輯運算實現，因此，所有算術運算是基於0和1以及邏輯運算實現的！

（4）n位帶標誌加法器

• n位加法器無法用於兩個n位帶符號整數 （補碼）相加，無法判斷是否溢出
• 程序中經常需要比較大小，通過（在加法器中）做減法得到的標誌信息來判斷

$溢出標誌OF： OF=Cn⊕Cn-1 \\ 符號標誌SF： SF=Fn-1 \\ 零標誌ZF: ZF=1當且僅 當F=0；\\ 進位/借位標誌CF： CF=Cout⊕Cin$

（5）n位整數加/減運算器

• 利用帶標誌加法器，可構造整數加/減運算器，進行以下運算：
   - 無符號整數加、減
   - 帶符號整數加、減
  
  在整數加/減運算部件 基礎上，加上寄存器、 移位器以及控制邏輯， 就可實現ALU、乘/除運算以及浮點運算電路

（6）算術邏輯部件（ALU）

• 進行基本算術運算與邏輯運算 – 無符號整數加、減
   – 帶符號整數加、減
   – 與、或、非、異或等邏輯運算
• 核心電路是帶標誌加法器
• 輸出除和/差等，還有標誌信息
• 有一個操作控制端（ALUop）， 用來決定ALU所執行的處理功能。 ALUop的位數k決定了操作的種類 ，例如，當位數k爲3時，ALU最 多隻有23=8種操作。
  
  

3.2 從C表達式到邏輯電路

以賦值語句 y=(x>>2)+k 爲例

1. 從C表達式到運算類指令

C語言程序中的基本數據類型、基本運算類型
（1）基本數據類型
   ①無符號數(二進制位串)、帶符號整數(補碼)
   ②浮點數(IEEE 754標準）
   ③位串、字符（串）（ASCII碼）
（2）基本運算類型
   ①算術(+ -* / % > < >= <= == !=)
   ②按位( | & ~ ^)
   ③邏輯( || && ！)
   ④移位( << >>）
   ⑤擴展和截斷

2. 從運算類指令到運算電路

（1）將各類表達式編譯（轉換）爲指令序列
  例如：y=(x>>2)+k 轉換爲以下指令序列：
     sarw $2, %ax ;       x>>2
    addw %bx, %ax ;   (x>>2) + k
（2）計算機直接執行指令來完成運算
    控制器對指令進行譯碼，產生控制信號送運算電路
（3）操作數在運算電路中運算
    sarw $2, %ax：將操作數“2”和“R[ax]”送移位器運算
    ddw %bx, %ax：將R[ax]和R[bx]送整數加減器中運算
移位器和整數加減運算器都是由邏輯門電路構成的！

3. 數據的運算

（1）高級語言程序中涉及的運算（以C語言爲例）
   – 整數算術運算、浮點數算術運算
   – 按位、邏輯、移位、位擴展和位截斷等運算
（2）指令集中涉及到的運算
    – 涉及到的定點數運算
    •算術運算
     帶符號整數：取負/ 符號擴展/ 加/ 減/ 乘/ 除 / 算術移位
     無符號整數：0擴展/ 加/ 減/ 乘/ 除/ 邏輯左移/ 邏輯右移
     •邏輯運算
     邏輯操作：與/ 或/ 非/ …
    – 涉及到的浮點數運算：加、減、乘、除
（3）指令中的運算操作在運算電路中進行
   – 基本運算部件ALU、通用寄存器組，以及其他部件

3.3 C語言中的各類運算

1. C語言程序中涉及的運算

（1）算術運算（最基本的運算）

• 無符號數、帶符號整數、浮點數的+、-、*、/ 、%運算等

（2）按位運算

 –用途
  • 對位串實現“掩碼”（mask）操作或相應的其他處理 （主要用於對多媒體數據或狀態/控制信息進行處理）
 –操作
  • 按位或：“|”
  • 按位與：“&”
  • 按位取反：“~”
  • 按位異或：“^”

Q:如何從數據y中提取低位字節，並使高字節爲0？

A: 可用“&”實現“掩碼”操作：y & 0x00FF
例如，當y=0x0B2C時，得到結果爲：0x002C

（3）移位運算

 –用途
   • 提取部分信息
   • 擴大或縮小2、4、8…倍
 –操作
   • 左移:：x<<k; 右移：x>>k

從運算符無法區分邏輯移位還是算術移位，由x的類型確定

• 若x爲無符號數：邏輯左（右）移 高（低）位移出，低（高）位補0，可能溢出！
  Q: 何時可能發生溢出？如何判斷溢出？
  A: 若高位移出的是1，則左移時發生溢出
• 若x爲帶符號整數：算術左移、算術右移
  左移： 高位移出，低位補0。可能溢出！
  溢出判斷： 若移出的位不等於新的符號位，則溢出。
  右移： 低位移出，高位補符，可能發生有效數據丟失。

• 移位運算和按位運算舉例

Q: 對於一個 n （ n ≥8）位的變量 x ，請根據C語言中按位運算的定義， 寫出滿足下列要求的C語言表達式。
（1） x 的最高有效字節不變，其餘各位全變爲0。
（2） x 的最低有效字節不變，其餘各位全變爲0。
（3） x 的最低有效字節全變爲0，其餘各位取反。
（4） x 的最低有效字節全變1，其餘各位不變。
A：
（1）(x>>(n-8))<<(n-8)
（2）x & 0xFF
（3）((x^ ~0xFF) >>8 )<< 8
（4）x | 0xFF

（4）邏輯運算

 –用途
   • 用於關係表達式的運算
   例如，if （x>y andi<100）then ……中的“and”運算
 –操作
   • “‖”表示“OR”運算
   • “&&”表示“AND”運算 例如，if ((x>y) &&(i<100)) then ……
   • “!”表示“NOT”運算
 –與按位運算的差別
    • 符號表示不同：& ~ && ；| ~ ‖；……
   • 運算過程不同：按位~ 整體
   • 結果類型不同：位串~ 邏輯值

（5）位擴展和位截斷運算

 –用途
   • 類型轉換時可能需要數據擴展或截斷
 –操作
   • 沒有專門操作運算符，根據類型轉換前、後數據長短確定是擴展還是截斷
   • 擴展：短轉長
     無符號數：0擴展（前面補0）
     帶符號整數：符號擴展（前面補符）
   • 截斷：長轉短，強行將高位丟棄，故可能發生“溢出”

例1（擴展操作）： 在大端機上輸出si, usi, i, ui的十進制和十六進制值是什麼？
   short si = -32768;
   unsigned short usi = si;
   int i = si;
   unsingned ui = usi ;
A:
   si = -32768 8000 H
   usi = 32768 8000H
   i = -32768 FFFF 8000H 帶符號整數：符號擴展
   ui = 32768 0000 8000H 無符號整數：0擴展

例2（截斷操作）：i 和j 是否相等？
   int i = 32768;
   short si = (short) i;
   int j = si;
A:
   不相等！
   i = 32768 0000 8000 H
   si = -32768 8000H
   j = -32768 FFFF 8000H
原因：對i截斷時發生了“溢出”，即：32768截斷爲16位數時， 因其超出16位能表示的最大值，故無法截斷爲正確的16位數！

3.4 整數加減運算

1. 整數加、減運算

• C語言程序中的整數有
    –帶符號整數，如char、short、int、long型等
    –無符號整數，如unsigned char、unsigned short、 unsigned等
• 指針、地址等通常被說明爲無符號整數，因而在進行指針或地址運算時，需要進行無符號整數的加、減運算
• 無符號整數和帶符號整數的加、減運算電路完全一樣，這個運算電路稱爲整數加減運算部件，基於帶標誌加法器實現
• 計算機中的加法器，因爲只有n位，所以是一種模2n運算系統

2. 整數加減運算部件

（1）補碼加減運算要點和運算部件

• 加、減法運算統一採用加法來處理
• 符號位(最高有效位MSB)和數值位一起參與運算
• 直接用Adder實現兩個數的加運算（模運算系統） 運算結果高位丟棄，保留低n位，相當於取模2n
• 實現減法的主要工作在於：求[–B] 補 ,$[–B] 補=\overline B+1$

（2）所有運算電路的核心——加法器

• 計算機中所有運算都基於加法器實現
• 加法器不知道所運算的是帶符號數還是無符號數。
• 加法器不判定對錯，總是取低n位作爲結果，並生成標誌信息。
  

①零標誌ZF、溢出標誌OF、進/借位標誌CF、符號標誌SF稱爲條件標誌

標誌	計算
OF	（帶符號數運算）若A與B’同號但與Sum不同號，則1；否則0
SF	sum符號
ZF	如Sum爲0，則1，否則0。
CF	Cout ⊕ sub

②存放標誌的寄存器通常稱爲程序/狀態字寄存器或標誌寄存器。每個標誌對應標誌寄存器中的一個標誌位。 如，IA-32中的EFLAGS寄存器。
③生成並保存的條件標誌，在分支指令（條件轉移指令）中被用作是否轉移執行的條件

3. 整數加法舉例

4. 整數減法舉例

5. 溢出判斷

	無符號	帶符號
加溢出	進位CF = 1	OF = 1
減溢出	差爲負數，即借位CF = 1	(1) 最高位和次高位的進位不同 Cn⊕Cn-1 (2) 和的符號位和加數的符號位不同

（1）無符號整數加法溢出判斷程序

發生溢出時，一定滿足$result&lt;x$ and $result&lt;y$
否則，若 $x+y-2^n≥x$，則 $y≥2^n$ ，這是不可能的

/* Determine whether arguments can be added without overflow */ 
	int uadd_ok(unsigned x, unsigned y) 
	{ 
		unsigned sum = x+y;
		return sum >= x;
	}

（2）帶符號整數加法溢出判斷程序

當兩個加數異號，和不會出現溢出；
當兩個加數同號，且和與加數符號相反時，出現溢出。

/* Determine whether arguments can be added without overflow */ 
int tadd_ok(int x, int y) 
{
	  int sum = x+y;
	  int neg_over = x < 0 && y < 0 && sum >= 0; //負溢出
	  int pos_over = x >= 0 && y >= 0 && sum < 0; //正溢出
	  return !neg_over && !pos_over;
} 

（3）帶符號整數減法溢出判斷程序

如果直接調用上面的 tadd_ok(x, -y)，當x=0，y=0x80000000時，會出現函數判斷錯誤。