【Unity Shader入門】Shader數學基礎：向量（矢量）

【Unity Shader入門】Shader基礎概念：渲染流水線
【Unity Shader入門】Shader編程基礎：ShaderLab語法
【Unity Shader入門】Shader數學基礎：向量（矢量）
【Unity Shader入門】Shader數學基礎：矩陣
【Unity Shader入門】Shader數學基礎：矩陣變換
【Unity Shader入門】Shader編程初級：Shader結構

前言

笛卡爾座標系

二維笛卡爾座標系

一個二維的笛卡爾座標系包含了兩個部分的信息：
一個特殊的位置，即原點，它是整個座標系的中心。
兩條過原點的互相垂直的矢量，即X軸和Y軸。這些座標軸也被稱爲是該座標的矢量。
OpenGL 和 DirectX 使用了不同的二維笛卡爾座標系。OpenGL也就是Unity默認的座標系是以左下角爲原點，DirectX是以左上角爲原點。如下圖：

三維笛卡爾座標系

在三維笛卡爾座標系中，我們需要定義三個座標軸和一個原點
3個座標軸被稱爲該座標系的基矢量，3個座標軸互相垂直，長度爲1，這樣的基矢量被稱爲標準正交基，如果長度不爲1，被稱爲正交基。當然，座標軸方向也不是固定的，涉及到z軸向裏爲正還是向外爲正，也就有了大家熟知的左手座標系和右手座標系。

三維笛卡爾座標系分爲2種不同的座標系：左手座標系（left-handed coordinate space）和右手座標系（right-handed coordinate space）。

Unity使用的是左手座標系。但對於觀察空間來說，Unity使用的是右手座標系。觀察空間，通俗來講就是以攝像機爲原點的座標系。在這個座標系中，攝像機的前向是z軸的負方向，這與在模型空間和世界空間中的定義相反。也就是說，z軸座標的減少意味着場景深度的增加。

點和向量

介紹

點（point）：是n維空間（遊戲中主要使用二維和三維空間）中的一個位置，它沒有大小、寬度這類概念。

向量（vector，也被稱爲矢量）：是指n維空間中一種包含了模（magnitude）和方向（direction）的有向線段。速度（velocity）就是一種典型的向量。向量被用於表示相對於某個點的偏移，也就是說是一個相對量。
向量的模：指的是這個向量的長度。一個向量的長度可以是任意的非負數。
向量的方向：則描述了這個向量在空間中指向。
向量通常由一個箭頭表示
向量的頭（head）：是它的箭頭所在的端點處。
向量的尾（tail）：是另一個端點處。
只要向量的模和方向保持不變，無論在哪裏，都是同一個向量。

標量（scalar）：只有模沒有方向。例如距離（distance）就是一種標量。

區別

向量可以用於表示相對於另一個點的位置，此時向量的尾是一個位置，那麼向量的頭就可以表示另一個位置了。如果我們把向量的尾固定在座標系原點，那麼這個向量的表示就和點的表示重合了。儘管點和向量在數學表達式上都是一樣的，但區分點和向量之間的不同是非常重要的。可以這樣理解，任何一個點都可以表示成一個從原點位置出發的向量。

點：沒有大小之分的空間中的位置
向量：有模和方向，但是沒有位置的量，相對量（可以描述相對位置），如果向量的頭尾都固定在座標系的原點，則這個向量就和點重合了。

向量運算

向量和標量的乘法和除法

把一個向量和一個標量相乘，意味着對向量進行一個大小爲標量的縮放。

$k\overrightarrow v=(k v_x,k v_y,k v_z)$
一個向量也可以被一個非零的標量除。這等同於和這個標量的倒數相乘。

$\frac {\overrightarrow v}k=\frac{ (x,y,z) } k=\frac 1k (x,y,z)=(\frac xk,\frac yk,\frac zk),k≠0$

注意：對於乘法來說，向量和標量的位置可以互換的。但對於除法，只能是向量被標量除，而不能是標量被向量除，這是沒有意義的。當k<0時，向量的方向也會取反。

例如，如果想把一個向量放大兩倍，就乘以2,。當標量小於0時，向量的方向也會相反。

向量的加法和減法

兩個向量進行相加或相減，其結果是一個相同維度的新向量。需要注意的是，一個矢量不能和一個標量相加或相減。矢量的加減法遵守三角法則。

$\overrightarrow a+\overrightarrow b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$
$\overrightarrow a-\overrightarrow b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)$

向量的模

向量的模是一個標量，是向量在空間中的長度。對於二維向量，其實就是使用了勾股定理，兩個直角邊的長度爲向量的分量的絕對值，斜邊的長度爲向量的模。
$向量\overrightarrow {ab}的大小，也就是向量\overrightarrow {ab}的長度（或稱模），記作|\overrightarrow {ab}|$
$|\overrightarrow v| = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

單位向量

很多情況下，我們只關心向量的方向而不是模。比如光照模型中，往往需要知道法線方向和光源方向，這種情況下我們不關心向量有多長，這樣就需要計算單位向量。單位向量指的是模爲1的向量，也被稱爲被歸一化的向量（normalized vector），而把非零向量轉換爲單位向量的過程被稱爲歸一化。計算單位向量公式如下：
$|\hat v|= \frac v {|v|},v是非零向量$

向量點積

點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡爾座標系，向量之間的點積既可以由向量座標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。

代數方式

$a \sdot b = (a_x,a_y,a_z) \sdot (b_x,b_y,b_z) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$
矢量的點積滿足交換律：
$a \sdot b = b \sdot a$
點積具有一些很重要的性質，在Shader計算中，我們經常利用這些性質來幫助計算。
性質一：點積可以結合標量乘法，也就是說，對點積中其中一個矢量進行縮放的結果，相當於對最後的點積結果進行縮放，即：
$(ka)\sdot b = a \sdot (kb) = k(a\sdot b)$
性質二：點積可以結合矢量加法和減法，也就是說，點積的操作數可以是矢量相加或相減後的結果。即：
$a \sdot (b + c)= a \sdot b + a \sdot c$
性質三：一個矢量和本身進行點積的結果，是該矢量的模的平方，這可以用來比較兩個矢量的長度大小。
$v \sdot v= v_xv_x + v_yv_y + v_zv_z = |v|^2$

幾何方式

$a \sdot b = |a| |b| \cos \theta$
兩個矢量的點積可以表示爲兩個矢量的模相乘，再乘以他們之間夾角的餘弦值。
利用餘弦定理推導：
$|c| ^2= |a|^2 |b|^2 - 2|a| |b| \cos \theta$
$|c| ^2= c \sdot c = (a-b) \sdot (a-b) = a \sdot a + b \sdot b - 2a \sdot b$
從這個公式可以看出兩個向量的夾角對於點積結果的影響，小於90度爲正，等於90度爲0，大於90度爲負。還可以用反餘弦求出兩個向量的夾角。
$\cos \theta = \frac {a \sdot b}{|a| |b|}$

幾何意義

點積的幾何意義中一個重要的幾意義是投影（projection），點積的符號可以讓我們知道兩個矢量的方向關係。

向量叉積

叉積在圖形學中常用於計算垂直於一個三角面的向量，用於判斷三角面片的朝向等。
$a\wedge b=(a_x,a_y,a_z)\wedge (b_x,b_y,b_z) =（a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$

三維向量叉積的計算規律。不同顏色的線表示了計算結果向量中對應顏色的分量的計算路徑。
以紅色爲例，即結果向量的第一個分量，它是從第一個向量的y分量出發乘以第二個向量的z分量，再減去第一個向量的z分量和第二向量的y分量的乘積

向量的叉積滿足反交換律：
$a\wedge b=-b\wedge a$
向量的叉積不滿足交換律，也不滿足結合律：
$a\wedge b \mathrlap{\,/}{=} b \wedge a$
$(a\wedge b) \wedge c \mathrlap{\,/}{=} a \wedge (b \wedge c)$

叉積的幾何意義：
兩個向量叉積會得到一個同時垂直於這兩個向量的新向量
$|a \wedge b|= |a| |b| sin \theta ,其中|a \wedge b|的值爲:以a和b爲兩邊的平行四邊形的面積$

我們知道兩個方向互不平行的向量可以確定一個平面，所以叉積最常見的應用就是計算垂直於一個平面的向量，我們後面會在頂點法線，切線那裏用到。

二維座標系旋轉

二維座標系平移

二維座標系旋轉和平移