【Unity Shader入門】Shader基礎概念：渲染流水線 【Unity Shader入門】Shader編程基礎：ShaderLab語法 【Unity Shader入門】Shader數學基礎：向量（矢量） 【Unity Shader入門】Shader數學基礎：矩陣 【Unity Shader入門】Shader數學基礎：矩陣變換 【Unity Shader入門】Shader編程初級：Shader結構
變換 ：是把一些數據（點、矢量、顏色）通過某種方式進行轉換的過程。線性變換 ：是指可以保留矢量加和標量乘的變換。其數學公式是：f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y )
f(x) + f(y) = f(x+y)
f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) k f ( x ) = f ( k x )
kf(x) = f(kx)
k f ( x ) = f ( k x )
線性變換都包括：旋轉、縮放、錯切(Shear)、鏡像（Mirroring）、正交投影（orthographic projection）。仿射變換 （affine transform）可以合併線性變換 和平移變換 ，將仿射變換擴展到4維空間下用4x4的矩陣來表示，它就齊次座標空間 。
由於3×3矩陣不能表示一個平移操作，就將其擴展到了4×4的矩陣。爲此，還需要把原來的三維矢量轉換成四維座標，也就是齊次座標（齊次座標的維度可以超過四維，但本文泛指四維齊次座標）。
可以使用一個4x4的矩陣來表示平移、旋轉和縮放。把表示純平移、純旋轉和純縮放的變換矩陣叫做基礎變換矩陣 。這些矩陣具有一些共同點，可以把一個基礎變換矩陣分解成4 個組成部分：[ M 3 × 3 t 3 × 1 0 1 × 3 1 ]
\begin{bmatrix}
M_{3×3} & t_{3×1} \\
0_{1×3} & 1 \\
\end{bmatrix}
[ M 3 × 3 0 1 × 3 t 3 × 1 1 ]
我們可以使用矩陣乘法來表示對一個點進行平移變換，如下所示，從結果很容易看出這個矩陣爲什麼有平移效果：點的x, y, z分量分別增加了一個位置偏移，即把點（x, y, z）在空間中平移了（tx, ty, tz）個單位。[ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] = [ x + t x y + t y z + t z 1 ]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x + t_x \\
y + t_y \\
z + t_z \\
1 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x + t x y + t y z + t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
對一個方向矢量進行平移變換，不會對其產生任何影響：[ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] [ x y z 0 ] = [ x y z 0 ]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
0 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
平移矩陣的逆矩陣就是反向平移得到的矩陣。可以看出平移矩陣並不是一個正交矩陣。[ 1 0 0 − t x 0 1 0 − t y 0 0 1 − t z 0 0 0 1 ]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -t_x \\
0 & 1 & 0 & -t_y \\
0 & 0 & 1 & -t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − t x − t y − t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
我們可以使用矩陣乘法來表示一個縮放變換：[ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] = [ k x x k y y k z z 1 ]
\begin{bmatrix}
k_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & k_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
k_xx \\
k_yy \\
k_zz \\
1 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x x k y y k z z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ [ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ] [ x y z 0 ] = [ k x x k y y k z z 0 ]
\begin{bmatrix}
k_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & k_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
k_xx \\
k_yy \\
k_zz \\
0 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x x k y y k z z 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
縮放矩陣的逆矩陣是使用原縮放矩陣係數的倒數來進行縮放，縮放矩陣一般也不是正交矩陣。
[ 1 k x 0 0 0 0 1 k y 0 0 0 0 1 k z 0 0 0 0 1 ]
\begin{bmatrix}
\frac 1 { k_x} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac 1 { k_y} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac 1 { k_z} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 1 0 0 0 0 k y 1 0 0 0 0 k z 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 複合變換 。其中一種方法的主要思想就是，先將縮放軸變換成標準座標軸，然後進行沿座標軸的縮放，再使用逆變換得到原來的縮放軸朝向。
旋轉是三種常見的變換矩陣中最複雜的一種。我們知道，旋轉操作需要指定一個旋轉軸，這個旋轉軸不一定是空間中的座標軸，但這裏旋轉就是指繞着空間中的x 軸, y 軸或z 軸進行旋轉。R x ( θ ) = [ 1 0 0 0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ]
R_{x}(\theta)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
R x ( θ ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 cos θ sin θ 0 0 − sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ R y ( θ ) = [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ]
R_{y}(\theta)=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
R y ( θ ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ 0 − sin θ 0 0 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ R z ( θ ) = [ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]
R_{z}(\theta)=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0 & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
R z ( θ ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
旋轉矩陣的逆矩陣是旋轉相反角度得到的變換矩陣。旋轉矩陣是正交矩陣，而且多個旋轉矩陣之間的串聯同樣是正交的。
我們可以把平移、旋轉和縮放組合起來，來形成一個複雜的變換過程。復 合 變 換 公 式 ： P n e w = M t r a n s l a t i o n M r o t a t i o n M s c a l θ P o l d
複合變換公式：P_{new} = M_{translation}M_{rotation}M_{scal\theta}P_{old}
復 合 變 換 公 式 ： P n e w = M t r a n s l a t i o n M r o t a t i o n M s c a l θ P o l d 由於矩陣乘法不滿足交換律，因此矩陣的乘法順序很重要 。想象一下，如果讓讀者向前一步然後左轉，記住此時的位置。然後回到原位，這次先左轉再向前走一步，得到的位置和上一次是不一樣的。究其本質，是因爲矩陣的乘法不滿足交換律，因此不同的乘法順序得到的結果是不一樣的 。
對比不同變換順序產生的變換矩陣的表達式。如果只考慮對y 軸的旋轉的話，按先縮放、再旋轉、最後平移這樣的順序組合3 種變換得到的變換矩陣是：M r o t a t i o n M s c a l θ M t r a n s l a t i o n = [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ] [ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ]
M_{rotation}M_{scal\theta}M_{translation}=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
k_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & k_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
M r o t a t i o n M s c a l θ M t r a n s l a t i o n = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ 0 − sin θ 0 0 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = [ k x cos θ 0 k x sin θ t x k x cos θ + t z k z sin θ 0 k y 0 t x k x − k x sin θ 0 k x cos θ − t x k x sin θ + t z k z cos θ 0 0 0 1 ]
=\begin{bmatrix}
k_x\cos \theta & 0 & k_x\sin \theta & t_xk_x\cos \theta + t_zk_z\sin \theta \\
0 & k_y & 0 & t_xk_x \\
-k_x\sin \theta & 0 & k_x\cos \theta & -t_xk_x\sin \theta + t_zk_z\cos \theta \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x cos θ 0 − k x sin θ 0 0 k y 0 0 k x sin θ 0 k x cos θ 0 t x k x cos θ + t z k z sin θ t x k x − t x k x sin θ + t z k z cos θ 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ M t r a n s l a t i o n M r o t a t i o n M s c a l θ = [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ] [ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ]
M_{translation}M_{rotation}M_{scal\theta}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
k_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & k_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
M t r a n s l a t i o n M r o t a t i o n M s c a l θ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ 0 − sin θ 0 0 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = [ k x cos θ 0 k x sin θ t x 0 k y 0 t y − k x sin θ 0 k z cos θ − t z 0 0 0 1 ]
=\begin{bmatrix}
k_x\cos \theta & 0 & k_x\sin \theta & t_x \\
0 & k_y & 0 & t_y \\
-k_x\sin \theta & 0 & k_z\cos \theta & -t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x cos θ 0 − k x sin θ 0 0 k y 0 0 k x sin θ 0 k z cos θ 0 t x t y − t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ M r o t a t θ z M r o t a t θ x M r o t a t θ y = [ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ] [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ]
M_{rotat\theta z}M_{rotat\theta x}M_{rotat\theta y}=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0 & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
M r o t a t θ z M r o t a t θ x M r o t a t θ y = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 cos θ sin θ 0 0 − sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ 0 − sin θ 0 0 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
很容易知道，這兩種選擇的結果是不一樣的。但如果把它們的旋轉順序顛倒一下，它們得到的結果就會是一樣的！說得明白點，在第一種情況下，按zxy 順序旋轉和在第二種情況下，按yxz順序旋轉是一樣的。而Unity 文檔中說明的旋轉順序指的是在第一種情況下的順序。
切變是座標系的變換，非均勻的拉伸。切變時候，角度變化，但是面積或體積不變。也可以理解爲座標軸間的角度變化，造成的扭曲。
錯切矩陣的逆矩陣可以通過取負來取得( H i j ) − 1 ( s ) = H i j ( − s )
(H_{ij})-1(s)= Hij(-s)
( H i j ) − 1 ( s ) = H i j ( − s )
如下圖，這是x座標根據y座標的切變，機器人的y座標沒有變化，只有x座標變化了，變化後的座標x1 理解爲將y座標乘以切變因子s與原座標x的和：x1 = x + sy。如果是3D則增加z座標的切變因子t： x1 = x + sy，y1 = y + tz
2D中切變矩陣爲：H x ( s ) = [ 1 0 s 1 ]
H_x(s)=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
s & 1\\
\end{bmatrix}
H x ( s ) = [ 1 s 0 1 ] H y ( s ) = [ 1 s 0 1 ]
H_y(s)=
\begin{bmatrix}
1 & s\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}
H y ( s ) = [ 1 0 s 1 ] H x y ( s , t ) = [ 1 0 0 0 1 0 s t 01 ]
H_{xy}(s,t)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0 \\
s & t &01 \\
\end{bmatrix}
H x y ( s , t ) = ⎣ ⎡ 1 0 s 0 1 t 0 0 0 1 ⎦ ⎤ H x z ( s , t ) = [ 1 0 0 s 1 t 0 0 01 ]
H_{xz}(s,t)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 &0 \\
s & 1 &t\\
0 & 0&01 \\
\end{bmatrix}
H x z ( s , t ) = ⎣ ⎡ 1 s 0 0 1 0 0 t 0 1 ⎦ ⎤ H y z ( s , t ) = [ 1 s t 0 1 0 0 0 01 ]
H_{yz}(s,t)=
\begin{bmatrix}
1 & s &t \\
0 & 1 &0\\
0 & 0&01 \\
\end{bmatrix}
H y z ( s , t ) = ⎣ ⎡ 1 0 0 s 1 0 t 0 0 1 ⎦ ⎤
鏡像矩陣也叫做反射，與正交投影相似，正交投影將縮放值設爲0，而鏡像則設爲-1.
R是reflect(反射)的縮寫。2D:R ( n ^ ) = S ( n ^ , − 1 ) = [ 1 + ( − 1 − 1 ) n x 2 ( − 1 − 1 ) n x n y ( − 1 − 1 ) n x n y 1 + ( − 1 − 1 ) n y 2 ] = [ 1 − n x 2 − 2 n x n y − 2 n x n y 1 − 2 n y 2 ]
R(\hat n)= S(\hat n,-1)=
\begin{bmatrix}
1+(-1-1)n_x^2&(-1-1)n_xn_y \\
(-1-1)n_xn_y&1+(-1-1)n_y^2 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1-n_x^2&-2n_xn_y \\
-2n_xn_y&1-2n_y^2 \\
\end{bmatrix}
R ( n ^ ) = S ( n ^ , − 1 ) = [ 1 + ( − 1 − 1 ) n x 2 ( − 1 − 1 ) n x n y ( − 1 − 1 ) n x n y 1 + ( − 1 − 1 ) n y 2 ] = [ 1 − n x 2 − 2 n x n y − 2 n x n y 1 − 2 n y 2 ]
3D:R ( n ^ ) = S ( n ^ , − 1 ) = [ 1 + ( − 1 − 1 ) n x 2 ( − 1 − 1 ) n x n y ( − 1 − 1 ) n x n z ( − 1 − 1 ) n x n y 1 + ( − 1 − 1 ) n y 2 ( − 1 − 1 ) n y n z ( − 1 − 1 ) n x n z ( − 1 − 1 ) n y n z 1 + ( − 1 − 1 ) n z 2 ] = [ 1 − 2 n x 2 − 2 n x n y − 2 n x n z − 2 n x n y 1 − 2 n y 2 − 2 n y n z − 2 n x n z − 2 n y n z 1 − 2 n z 2 ]
R(\hat n)= S(\hat n,-1)=
\begin{bmatrix}
1+(-1-1)n_x^2&(-1-1)n_xn_y &(-1-1)n_xn_z \\
(-1-1)n_xn_y&1+(-1-1)n_y^2 &(-1-1)n_yn_z\\
(-1-1)n_xn_z& (-1-1)n_yn_z &1+(-1-1)n_z^2\\
\end{bmatrix}\\=
\begin{bmatrix}
1-2n_x^2& -2n_xn_y & -2n_xn_z \\
-2n_xn_y&1-2n_y^2 & -2n_yn_z\\
-2n_xn_z& -2n_yn_z &1-2n_z^2\\
\end{bmatrix}
R ( n ^ ) = S ( n ^ , − 1 ) = ⎣ ⎡ 1 + ( − 1 − 1 ) n x 2 ( − 1 − 1 ) n x n y ( − 1 − 1 ) n x n z ( − 1 − 1 ) n x n y 1 + ( − 1 − 1 ) n y 2 ( − 1 − 1 ) n y n z ( − 1 − 1 ) n x n z ( − 1 − 1 ) n y n z 1 + ( − 1 − 1 ) n z 2 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 − 2 n x 2 − 2 n x n y − 2 n x n z − 2 n x n y 1 − 2 n y 2 − 2 n y n z − 2 n x n z − 2 n y n z 1 − 2 n z 2 ⎦ ⎤
投影意味和降維操作，將所有的點拉平到要投影的直線或平面上，從原來的點到投影點的直線相互平行，這就是正交投影。透視投影是另一種投影。
通過將垂直方向上縮放因子設爲0來實現，如將3D點投影到xy平面，則拋棄z分量，通過將z方向上的縮放因子設爲0實現。
P是projection(投影)的縮寫，2D中，Px表示向x軸投影，Py同理：P x = S ( [ 0 1 ] , 0 ) = [ 1 0 0 0 ]
P_x=
S (\begin{bmatrix}
0&1
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
1&0 \\
0&0 \\
\end{bmatrix}
P x = S ( [ 0 1 ] , 0 ) = [ 1 0 0 0 ] P y = S ( [ 1 0 ] , 0 ) = [ 0 0 0 1 ]
P_y=
S (\begin{bmatrix}
1&0
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
0&0 \\
0&1 \\
\end{bmatrix}\\
P y = S ( [ 1 0 ] , 0 ) = [ 0 0 0 1 ]
3D中，Pxy表示向xy平面投影，其餘同理：P x y = S ( [ 0 0 1 ] , 0 ) = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ]
P_{xy}=
S (\begin{bmatrix}
0&0&1
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&0 \\
\end{bmatrix}
P x y = S ( [ 0 0 1 ] , 0 ) = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎦ ⎤ P x z = S ( [ 0 1 0 ] , 0 ) = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ]
P_{xz}=
S (\begin{bmatrix}
0&1&0
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
1&0&0 \\
0&0&0 \\
0&0&1 \\
\end{bmatrix}
P x z = S ( [ 0 1 0 ] , 0 ) = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤ P y z = S ( [ 1 0 0 ] , 0 ) = [ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ]
P_{yz}=
S (\begin{bmatrix}
1&0&0
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
0&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1 \\
\end{bmatrix}
P y z = S ( [ 1 0 0 ] , 0 ) = ⎣ ⎡ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
投影有垂直於直線或平面的向量n定義，通過使n方向上的縮放因爲0就能導出任意方向的投影矩陣。P(n)表示向垂直於向量n的軸或平面投影矩陣，S(n,0)表示在n方向上的縮放因子爲0的縮放矩陣.
2D：P ( n ^ ) = [ 1 + ( 0 − 1 ) n x 2 ( 0 − 1 ) n x n y ( 0 − 1 ) n x n y 1 + ( 0 − 1 ) n y 2 ] = [ 1 − n x 2 − n x n y − n x n y 1 − n y 2 ]
P(\hat n)=\begin{bmatrix}
1+(0-1)n_x^2 & (0-1) n_xn_y \\
(0-1) n_xn_y & 1+(0-1)n_y^2 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1-n_x^2 & -n_xn_y \\
-n_xn_y & 1-n_y^2 \\
\end{bmatrix}
P ( n ^ ) = [ 1 + ( 0 − 1 ) n x 2 ( 0 − 1 ) n x n y ( 0 − 1 ) n x n y 1 + ( 0 − 1 ) n y 2 ] = [ 1 − n x 2 − n x n y − n x n y 1 − n y 2 ]
P ( n ^ ) = [ 1 + ( 0 − 1 ) n x 2 ( 0 − 1 ) n x n y ( 0 − 1 ) n x n z ( 0 − 1 ) n x n y 1 + ( 0 − 1 ) n y 2 ( 0 − 1 ) n y n z ( 0 − 1 ) n x n z ( 0 − 1 ) n y n z 1 + ( 0 − 1 ) n z 2 ] = [ 1 − n x 2 − n x n y − n x n z − n x n y 1 − n y 2 − n y n z − n x n z − n y n z 1 − n z 2 ]
P(\hat n)=\begin{bmatrix}
1+(0-1)n_x^2 & (0-1) n_xn_y & (0-1) n_xn_z \\
(0-1) n_xn_y & 1+(0-1)n_y^2 & (0-1) n_yn_z \\
(0-1) n_xn_z & (0-1) n_yn_z & 1+(0-1)n_z^2 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1-n_x^2 & -n_xn_y & -n_xn_z \\
-n_xn_y & 1-n_y^2 & -n_yn_z \\
-n_xn_z & -n_yn_z & 1-n_z^2 \\
\end{bmatrix}
P ( n ^ ) = ⎣ ⎡ 1 + ( 0 − 1 ) n x 2 ( 0 − 1 ) n x n y ( 0 − 1 ) n x n z ( 0 − 1 ) n x n y 1 + ( 0 − 1 ) n y 2 ( 0 − 1 ) n y n z ( 0 − 1 ) n x n z ( 0 − 1 ) n y n z 1 + ( 0 − 1 ) n z 2 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 − n x 2 − n x n y − n x n z − n x n y 1 − n y 2 − n y n z − n x n z − n y n z 1 − n z 2 ⎦ ⎤
