【Unity Shader入门】Shader基础概念：渲染流水线 【Unity Shader入门】Shader编程基础：ShaderLab语法 【Unity Shader入门】Shader数学基础：向量（矢量） 【Unity Shader入门】Shader数学基础：矩阵 【Unity Shader入门】Shader数学基础：矩阵变换 【Unity Shader入门】Shader编程初级：Shader结构
变换 ：是把一些数据（点、矢量、颜色）通过某种方式进行转换的过程。线性变换 ：是指可以保留矢量加和标量乘的变换。其数学公式是：f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y )
f(x) + f(y) = f(x+y)
f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) k f ( x ) = f ( k x )
kf(x) = f(kx)
k f ( x ) = f ( k x )
线性变换都包括：旋转、缩放、错切(Shear)、镜像（Mirroring）、正交投影（orthographic projection）。仿射变换 （affine transform）可以合并线性变换 和平移变换 ，将仿射变换扩展到4维空间下用4x4的矩阵来表示，它就齐次座标空间 。
由于3×3矩阵不能表示一个平移操作，就将其扩展到了4×4的矩阵。为此，还需要把原来的三维矢量转换成四维座标，也就是齐次座标（齐次座标的维度可以超过四维，但本文泛指四维齐次座标）。
可以使用一个4x4的矩阵来表示平移、旋转和缩放。把表示纯平移、纯旋转和纯缩放的变换矩阵叫做基础变换矩阵 。这些矩阵具有一些共同点，可以把一个基础变换矩阵分解成4 个组成部分：[ M 3 × 3 t 3 × 1 0 1 × 3 1 ]
\begin{bmatrix}
M_{3×3} & t_{3×1} \\
0_{1×3} & 1 \\
\end{bmatrix}
[ M 3 × 3 0 1 × 3 t 3 × 1 1 ]
我们可以使用矩阵乘法来表示对一个点进行平移变换，如下所示，从结果很容易看出这个矩阵为什么有平移效果：点的x, y, z分量分别增加了一个位置偏移，即把点（x, y, z）在空间中平移了（tx, ty, tz）个单位。[ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] = [ x + t x y + t y z + t z 1 ]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x + t_x \\
y + t_y \\
z + t_z \\
1 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x + t x y + t y z + t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
对一个方向矢量进行平移变换，不会对其产生任何影响：[ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] [ x y z 0 ] = [ x y z 0 ]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
0 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
平移矩阵的逆矩阵就是反向平移得到的矩阵。可以看出平移矩阵并不是一个正交矩阵。[ 1 0 0 − t x 0 1 0 − t y 0 0 1 − t z 0 0 0 1 ]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -t_x \\
0 & 1 & 0 & -t_y \\
0 & 0 & 1 & -t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − t x − t y − t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
我们可以使用矩阵乘法来表示一个缩放变换：[ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] = [ k x x k y y k z z 1 ]
\begin{bmatrix}
k_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & k_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
k_xx \\
k_yy \\
k_zz \\
1 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x x k y y k z z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ [ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ] [ x y z 0 ] = [ k x x k y y k z z 0 ]
\begin{bmatrix}
k_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & k_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
k_xx \\
k_yy \\
k_zz \\
0 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x x k y y k z z 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
缩放矩阵的逆矩阵是使用原缩放矩阵系数的倒数来进行缩放，缩放矩阵一般也不是正交矩阵。
[ 1 k x 0 0 0 0 1 k y 0 0 0 0 1 k z 0 0 0 0 1 ]
\begin{bmatrix}
\frac 1 { k_x} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac 1 { k_y} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac 1 { k_z} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 1 0 0 0 0 k y 1 0 0 0 0 k z 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 复合变换 。其中一种方法的主要思想就是，先将缩放轴变换成标准座标轴，然后进行沿座标轴的缩放，再使用逆变换得到原来的缩放轴朝向。
旋转是三种常见的变换矩阵中最复杂的一种。我们知道，旋转操作需要指定一个旋转轴，这个旋转轴不一定是空间中的座标轴，但这里旋转就是指绕着空间中的x 轴, y 轴或z 轴进行旋转。R x ( θ ) = [ 1 0 0 0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ]
R_{x}(\theta)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
R x ( θ ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 cos θ sin θ 0 0 − sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ R y ( θ ) = [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ]
R_{y}(\theta)=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
R y ( θ ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ 0 − sin θ 0 0 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ R z ( θ ) = [ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]
R_{z}(\theta)=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0 & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
R z ( θ ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
旋转矩阵的逆矩阵是旋转相反角度得到的变换矩阵。旋转矩阵是正交矩阵，而且多个旋转矩阵之间的串联同样是正交的。
我们可以把平移、旋转和缩放组合起来，来形成一个复杂的变换过程。复 合 变 换 公 式 ： P n e w = M t r a n s l a t i o n M r o t a t i o n M s c a l θ P o l d
复合变换公式：P_{new} = M_{translation}M_{rotation}M_{scal\theta}P_{old}
复 合 变 换 公 式 ： P n e w = M t r a n s l a t i o n M r o t a t i o n M s c a l θ P o l d 由于矩阵乘法不满足交换律，因此矩阵的乘法顺序很重要 。想象一下，如果让读者向前一步然后左转，记住此时的位置。然后回到原位，这次先左转再向前走一步，得到的位置和上一次是不一样的。究其本质，是因为矩阵的乘法不满足交换律，因此不同的乘法顺序得到的结果是不一样的 。
对比不同变换顺序产生的变换矩阵的表达式。如果只考虑对y 轴的旋转的话，按先缩放、再旋转、最后平移这样的顺序组合3 种变换得到的变换矩阵是：M r o t a t i o n M s c a l θ M t r a n s l a t i o n = [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ] [ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ]
M_{rotation}M_{scal\theta}M_{translation}=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
k_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & k_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
M r o t a t i o n M s c a l θ M t r a n s l a t i o n = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ 0 − sin θ 0 0 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = [ k x cos θ 0 k x sin θ t x k x cos θ + t z k z sin θ 0 k y 0 t x k x − k x sin θ 0 k x cos θ − t x k x sin θ + t z k z cos θ 0 0 0 1 ]
=\begin{bmatrix}
k_x\cos \theta & 0 & k_x\sin \theta & t_xk_x\cos \theta + t_zk_z\sin \theta \\
0 & k_y & 0 & t_xk_x \\
-k_x\sin \theta & 0 & k_x\cos \theta & -t_xk_x\sin \theta + t_zk_z\cos \theta \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x cos θ 0 − k x sin θ 0 0 k y 0 0 k x sin θ 0 k x cos θ 0 t x k x cos θ + t z k z sin θ t x k x − t x k x sin θ + t z k z cos θ 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ M t r a n s l a t i o n M r o t a t i o n M s c a l θ = [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ] [ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ]
M_{translation}M_{rotation}M_{scal\theta}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
k_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & k_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
M t r a n s l a t i o n M r o t a t i o n M s c a l θ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ 0 − sin θ 0 0 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x 0 0 0 0 k y 0 0 0 0 k z 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = [ k x cos θ 0 k x sin θ t x 0 k y 0 t y − k x sin θ 0 k z cos θ − t z 0 0 0 1 ]
=\begin{bmatrix}
k_x\cos \theta & 0 & k_x\sin \theta & t_x \\
0 & k_y & 0 & t_y \\
-k_x\sin \theta & 0 & k_z\cos \theta & -t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ k x cos θ 0 − k x sin θ 0 0 k y 0 0 k x sin θ 0 k z cos θ 0 t x t y − t z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ M r o t a t θ z M r o t a t θ x M r o t a t θ y = [ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ] [ cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ]
M_{rotat\theta z}M_{rotat\theta x}M_{rotat\theta y}=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0 & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
M r o t a t θ z M r o t a t θ x M r o t a t θ y = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 cos θ sin θ 0 0 − sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ cos θ 0 − sin θ 0 0 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
很容易知道，这两种选择的结果是不一样的。但如果把它们的旋转顺序颠倒一下，它们得到的结果就会是一样的！说得明白点，在第一种情况下，按zxy 顺序旋转和在第二种情况下，按yxz顺序旋转是一样的。而Unity 文档中说明的旋转顺序指的是在第一种情况下的顺序。
切变是座标系的变换，非均匀的拉伸。切变时候，角度变化，但是面积或体积不变。也可以理解为座标轴间的角度变化，造成的扭曲。
错切矩阵的逆矩阵可以通过取负来取得( H i j ) − 1 ( s ) = H i j ( − s )
(H_{ij})-1(s)= Hij(-s)
( H i j ) − 1 ( s ) = H i j ( − s )
如下图，这是x座标根据y座标的切变，机器人的y座标没有变化，只有x座标变化了，变化后的座标x1 理解为将y座标乘以切变因子s与原座标x的和：x1 = x + sy。如果是3D则增加z座标的切变因子t： x1 = x + sy，y1 = y + tz
2D中切变矩阵为：H x ( s ) = [ 1 0 s 1 ]
H_x(s)=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
s & 1\\
\end{bmatrix}
H x ( s ) = [ 1 s 0 1 ] H y ( s ) = [ 1 s 0 1 ]
H_y(s)=
\begin{bmatrix}
1 & s\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}
H y ( s ) = [ 1 0 s 1 ] H x y ( s , t ) = [ 1 0 0 0 1 0 s t 01 ]
H_{xy}(s,t)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0 \\
s & t &01 \\
\end{bmatrix}
H x y ( s , t ) = ⎣ ⎡ 1 0 s 0 1 t 0 0 0 1 ⎦ ⎤ H x z ( s , t ) = [ 1 0 0 s 1 t 0 0 01 ]
H_{xz}(s,t)=
\begin{bmatrix}
1 & 0 &0 \\
s & 1 &t\\
0 & 0&01 \\
\end{bmatrix}
H x z ( s , t ) = ⎣ ⎡ 1 s 0 0 1 0 0 t 0 1 ⎦ ⎤ H y z ( s , t ) = [ 1 s t 0 1 0 0 0 01 ]
H_{yz}(s,t)=
\begin{bmatrix}
1 & s &t \\
0 & 1 &0\\
0 & 0&01 \\
\end{bmatrix}
H y z ( s , t ) = ⎣ ⎡ 1 0 0 s 1 0 t 0 0 1 ⎦ ⎤
镜像矩阵也叫做反射，与正交投影相似，正交投影将缩放值设为0，而镜像则设为-1.
R是reflect(反射)的缩写。2D:R ( n ^ ) = S ( n ^ , − 1 ) = [ 1 + ( − 1 − 1 ) n x 2 ( − 1 − 1 ) n x n y ( − 1 − 1 ) n x n y 1 + ( − 1 − 1 ) n y 2 ] = [ 1 − n x 2 − 2 n x n y − 2 n x n y 1 − 2 n y 2 ]
R(\hat n)= S(\hat n,-1)=
\begin{bmatrix}
1+(-1-1)n_x^2&(-1-1)n_xn_y \\
(-1-1)n_xn_y&1+(-1-1)n_y^2 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1-n_x^2&-2n_xn_y \\
-2n_xn_y&1-2n_y^2 \\
\end{bmatrix}
R ( n ^ ) = S ( n ^ , − 1 ) = [ 1 + ( − 1 − 1 ) n x 2 ( − 1 − 1 ) n x n y ( − 1 − 1 ) n x n y 1 + ( − 1 − 1 ) n y 2 ] = [ 1 − n x 2 − 2 n x n y − 2 n x n y 1 − 2 n y 2 ]
3D:R ( n ^ ) = S ( n ^ , − 1 ) = [ 1 + ( − 1 − 1 ) n x 2 ( − 1 − 1 ) n x n y ( − 1 − 1 ) n x n z ( − 1 − 1 ) n x n y 1 + ( − 1 − 1 ) n y 2 ( − 1 − 1 ) n y n z ( − 1 − 1 ) n x n z ( − 1 − 1 ) n y n z 1 + ( − 1 − 1 ) n z 2 ] = [ 1 − 2 n x 2 − 2 n x n y − 2 n x n z − 2 n x n y 1 − 2 n y 2 − 2 n y n z − 2 n x n z − 2 n y n z 1 − 2 n z 2 ]
R(\hat n)= S(\hat n,-1)=
\begin{bmatrix}
1+(-1-1)n_x^2&(-1-1)n_xn_y &(-1-1)n_xn_z \\
(-1-1)n_xn_y&1+(-1-1)n_y^2 &(-1-1)n_yn_z\\
(-1-1)n_xn_z& (-1-1)n_yn_z &1+(-1-1)n_z^2\\
\end{bmatrix}\\=
\begin{bmatrix}
1-2n_x^2& -2n_xn_y & -2n_xn_z \\
-2n_xn_y&1-2n_y^2 & -2n_yn_z\\
-2n_xn_z& -2n_yn_z &1-2n_z^2\\
\end{bmatrix}
R ( n ^ ) = S ( n ^ , − 1 ) = ⎣ ⎡ 1 + ( − 1 − 1 ) n x 2 ( − 1 − 1 ) n x n y ( − 1 − 1 ) n x n z ( − 1 − 1 ) n x n y 1 + ( − 1 − 1 ) n y 2 ( − 1 − 1 ) n y n z ( − 1 − 1 ) n x n z ( − 1 − 1 ) n y n z 1 + ( − 1 − 1 ) n z 2 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 − 2 n x 2 − 2 n x n y − 2 n x n z − 2 n x n y 1 − 2 n y 2 − 2 n y n z − 2 n x n z − 2 n y n z 1 − 2 n z 2 ⎦ ⎤
投影意味和降维操作，将所有的点拉平到要投影的直线或平面上，从原来的点到投影点的直线相互平行，这就是正交投影。透视投影是另一种投影。
通过将垂直方向上缩放因子设为0来实现，如将3D点投影到xy平面，则抛弃z分量，通过将z方向上的缩放因子设为0实现。
P是projection(投影)的缩写，2D中，Px表示向x轴投影，Py同理：P x = S ( [ 0 1 ] , 0 ) = [ 1 0 0 0 ]
P_x=
S (\begin{bmatrix}
0&1
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
1&0 \\
0&0 \\
\end{bmatrix}
P x = S ( [ 0 1 ] , 0 ) = [ 1 0 0 0 ] P y = S ( [ 1 0 ] , 0 ) = [ 0 0 0 1 ]
P_y=
S (\begin{bmatrix}
1&0
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
0&0 \\
0&1 \\
\end{bmatrix}\\
P y = S ( [ 1 0 ] , 0 ) = [ 0 0 0 1 ]
3D中，Pxy表示向xy平面投影，其余同理：P x y = S ( [ 0 0 1 ] , 0 ) = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ]
P_{xy}=
S (\begin{bmatrix}
0&0&1
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&0 \\
\end{bmatrix}
P x y = S ( [ 0 0 1 ] , 0 ) = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎦ ⎤ P x z = S ( [ 0 1 0 ] , 0 ) = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ]
P_{xz}=
S (\begin{bmatrix}
0&1&0
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
1&0&0 \\
0&0&0 \\
0&0&1 \\
\end{bmatrix}
P x z = S ( [ 0 1 0 ] , 0 ) = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤ P y z = S ( [ 1 0 0 ] , 0 ) = [ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ]
P_{yz}=
S (\begin{bmatrix}
1&0&0
\end{bmatrix},0)=
\begin{bmatrix}
0&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1 \\
\end{bmatrix}
P y z = S ( [ 1 0 0 ] , 0 ) = ⎣ ⎡ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
投影有垂直于直线或平面的向量n定义，通过使n方向上的缩放因为0就能导出任意方向的投影矩阵。P(n)表示向垂直于向量n的轴或平面投影矩阵，S(n,0)表示在n方向上的缩放因子为0的缩放矩阵.
2D：P ( n ^ ) = [ 1 + ( 0 − 1 ) n x 2 ( 0 − 1 ) n x n y ( 0 − 1 ) n x n y 1 + ( 0 − 1 ) n y 2 ] = [ 1 − n x 2 − n x n y − n x n y 1 − n y 2 ]
P(\hat n)=\begin{bmatrix}
1+(0-1)n_x^2 & (0-1) n_xn_y \\
(0-1) n_xn_y & 1+(0-1)n_y^2 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1-n_x^2 & -n_xn_y \\
-n_xn_y & 1-n_y^2 \\
\end{bmatrix}
P ( n ^ ) = [ 1 + ( 0 − 1 ) n x 2 ( 0 − 1 ) n x n y ( 0 − 1 ) n x n y 1 + ( 0 − 1 ) n y 2 ] = [ 1 − n x 2 − n x n y − n x n y 1 − n y 2 ]
P ( n ^ ) = [ 1 + ( 0 − 1 ) n x 2 ( 0 − 1 ) n x n y ( 0 − 1 ) n x n z ( 0 − 1 ) n x n y 1 + ( 0 − 1 ) n y 2 ( 0 − 1 ) n y n z ( 0 − 1 ) n x n z ( 0 − 1 ) n y n z 1 + ( 0 − 1 ) n z 2 ] = [ 1 − n x 2 − n x n y − n x n z − n x n y 1 − n y 2 − n y n z − n x n z − n y n z 1 − n z 2 ]
P(\hat n)=\begin{bmatrix}
1+(0-1)n_x^2 & (0-1) n_xn_y & (0-1) n_xn_z \\
(0-1) n_xn_y & 1+(0-1)n_y^2 & (0-1) n_yn_z \\
(0-1) n_xn_z & (0-1) n_yn_z & 1+(0-1)n_z^2 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1-n_x^2 & -n_xn_y & -n_xn_z \\
-n_xn_y & 1-n_y^2 & -n_yn_z \\
-n_xn_z & -n_yn_z & 1-n_z^2 \\
\end{bmatrix}
P ( n ^ ) = ⎣ ⎡ 1 + ( 0 − 1 ) n x 2 ( 0 − 1 ) n x n y ( 0 − 1 ) n x n z ( 0 − 1 ) n x n y 1 + ( 0 − 1 ) n y 2 ( 0 − 1 ) n y n z ( 0 − 1 ) n x n z ( 0 − 1 ) n y n z 1 + ( 0 − 1 ) n z 2 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 − n x 2 − n x n y − n x n z − n x n y 1 − n y 2 − n y n z − n x n z − n y n z 1 − n z 2 ⎦ ⎤
