一步一步看清動態規劃----揹包問題（java解）

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動態規劃有兩個很重要的概念，無後效性 和 狀態，這裏參考兩篇文章，講的不錯，尤其是第二篇：
什麼是無後效性？
動態規劃

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題目背景

話說有一哥們去森林裏玩發現了一堆寶石，他數了數，一共有n個。 但他身上能裝寶石的就只有一個揹包，揹包的容量爲C。這哥們把n個寶石排成一排並編上號： 0,1,2,…,n-1。第i個寶石對應的體積和價值分別爲V[i]和W[i] 。排好後這哥們開始思考： 揹包總共也就只能裝下體積爲C的東西，那我要裝下哪些寶石才能讓我獲得最大的利益呢？

OK，如果是你，你會怎麼做？你斬釘截鐵的說：動態規劃啊！恭喜你，答對了。 那麼讓我們來看看，動態規劃中最最最重要的兩個概念： 狀態和狀態轉移方程在這個問題中分別是什麼。

我們要怎樣去定義狀態呢？這個狀態總不能是憑空想象或是從天上掉下來的吧。 爲了方便說明，讓我們先實例化上面的問題。一般遇到n，你就果斷地給n賦予一個很小的數， 比如n=3。然後設揹包容量C=10，三個寶石的體積爲5，4，3，對應的價值爲20，10，12。 大家都知道正解應該是把體積爲5和3的寶石裝到揹包裏， 此時對應的價值是20+12=32。接下來，我們把第三個寶石拿走， 同時揹包容量減去第三個寶石的體積（因爲它是裝入揹包的寶石之一）， 於是問題的各參數變爲：n=2，C=7，體積｛5，4｝，價值｛20，10｝。好了， 現在這個問題的解是什麼，肯定是：把體積爲5的寶石放入揹包 （然後剩下體積2，裝不下第二個寶石，只能眼睜睜看着它溜走），此時價值爲20。 這樣一來，我們發現，n=3時，放入揹包的是0號和2號寶石；當n=2時， 我們放入的是0號寶石。這並不是一個偶然，沒錯， 這就是傳說中的“全局最優解包含局部最優解”（n=2是n=3情況的一個局部子問題）。 繞了那麼大的圈子，你可能要問，這都哪跟哪啊？說好的狀態呢？說好的狀態轉移方程呢？ 別急，它們已經呼之欲出了。

我們再把上面的例子理一下。當n=2時，我們要求的是前2個寶石， 裝到體積爲7的揹包裏能達到的最大價值；當n=3時，我們要求的是前3個寶石， 裝到體積爲10的揹包裏能達到的最大價值。有沒有發現它們其實是一個句式！OK， 讓我們形式化地表示一下它們， 定義d(i,j)爲前i個寶石裝到剩餘體積爲j的揹包裏能達到的最大價值。 那麼上面兩句話即爲：d(2, 7)和d(3, 10)。這樣看着真是爽多了， 而這兩個看着很爽的符號就是我們要找的狀態了。 即狀態d(i,j)表示前i個寶石裝到剩餘體積爲j的揹包裏能達到的最大價值。 上面那麼多的文字，用一句話概括就是：根據子問題定義狀態！你找到子問題， 狀態也就浮出水面了。而我們最終要求解的最大價值即爲d(n, C)：前n個寶石 （0,1,2…,n-1）裝入剩餘容量爲C的揹包中的最大價值。狀態好不容易找到了， 狀態轉移方程呢？顧名思義，狀態轉移方程就是描述狀態是怎麼轉移的方程。 那麼回到例子，d(2, 7)和d(3, 10)是怎麼轉移的？來，我們來說說2號寶石 （記住寶石編號是從0開始的）。從d(2, 7)到d(3, 10)就隔了這個2號寶石。 它有兩種情況，裝或者不裝入揹包。如果裝入，在面對前2個寶石時， 揹包就只剩下體積7來裝它們，而相應的要加上2號寶石的價值12， d(3, 10)=d(2, 10-3)+12=d(2, 7)+12；如果不裝入，體積仍爲10，價值自然不變了， d(3, 10)=d(2, 10)。記住，d(3, 10)表示的是前3個寶石裝入到剩餘體積爲10 的揹包裏能達到的最大價值，既然是最大價值，就有d(3, 10)=max{ d(2, 10), d(2, 7)+12 }。好了，這條方程描述了狀態d(i, j)的一些關係， 沒錯，它就是狀態轉移方程了。把它形式化一下：d(i, j)=max{ d(i-1, j), d(i-1,j-V[i-1]) + W[i-1] }。注意討論前i個寶石裝入揹包的時候， 其實是在考查第i-1個寶石裝不裝入揹包（因爲寶石是從0開始編號的）。至此， 狀態和狀態轉移方程都已經有了。

程序及詳細講解

public class knapspace{
    public static void main(String[] args) {
        int N = 3 ;     // 寶石個數
        int C = 10 ;    // 書包容量
        int V[] = {0,5,3,4} ;       // 每個寶石的體積，這裏前面的0是爲了後面表示方便，即V[1]表示爲第一個寶石的體積，下同
        int W[] = {0,20,10,12} ;    // 每個寶石的價值
        int d[][] = new int [N+1][C+1] ;

        d[0][C] = 0 ;

        for (int i = 1; i <= N; i++) {
                for (int j= 1; j<=C; j++) {
                    if ( i > 0 && j>=V[i]) {
                    // 狀態轉移方程
                        d[i][j] = (d[i-1][j] > d[i-1][j-V[i]] + W[i]) ? d[i-1][j] : d[i-1][j-V[i]] + W[i] ;
                    }
                }
            }
            System.out.println(d[N][C]) ;   
    }
}

爲了說明情況 ，我們改下程序，讓每次執行都打印 d[i][j]看一看，每次都是怎麼變化的。

public class knapspace{
    public static void main(String[] args) {
        int N = 3 ;     // 寶石個數
        int C = 10 ;    // 書包容量
        int V[] = {0,5,3,4} ;       // 每個寶石的體積,這裏前面的0是爲了後面表示方便，即V[1]表示爲第一個寶石的體積，下同
        int W[] = {0,20,10,12} ;    // 每個寶石的價值
        int d[][] = new int [N+1][C+1] ;    // 狀態數組

        d[0][C] = 0 ;

        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            System.out.println("*********  i="+ i +"  *********" ) ;
                for (int j= 1; j<=C; j++) {
                    if ( i > 0 && j>=V[i]) {
                        // 狀態轉移方程
                        d[i][j] = (d[i-1][j] > d[i-1][j-V[i]] + W[i]) ? d[i-1][j] : d[i-1][j-V[i]] + W[i] ;

                        System.out.println("\t---------- j="+j+"  d[i-1][j]="+d[i-1][j]+"   d[i-1][j-V[i]]+ W[i]="+(d[i-1][j-V[i]]+ W[i])+"   ---------") ;
                        // 打印每次保存狀態的數組
                        print_array(d) ;
                    }
                }
                System.out.println() ;
            }
    }
    // 打印保存數據的二位數組
    public static void print_array(int A[][]){
        System.out.println("=======================================================================") ;
        for (int i= 1;i<A.length ;i++ ) {
            for (int j = 1; j<A[0].length; j++) {
                System.out.print(A[i][j] + "\t") ;
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("=======================================================================") ;
    }
}

我們來看打印出來的 i=1 時候的數據，表示只有第一個寶石的情況：

一共三行，表示放三次寶石；10列，表示揹包的總體積大小。從程序中可以看到，當求解當前（i=1）最優解的時候，是將當前解的子結構與當前情況做比較（d[i-1][j] 、d[i-1][j-V[i]] + W[i]）。

d[i-1][j] 表示在體積爲j，不裝這塊寶石的時候，獲得的最大價值；此價值通過 i-1 的狀態獲得，即最優子結構。
d[i-1][j-V[i]] + W[i]： 表示體積在可以裝下第 i 塊寶石的時候，裝下這塊寶石的總價值。（d[i-1][j-V[i]]表示在裝下當前寶石的時候，剩餘體積的最優子解）

可以看到這裏進行了5次比較，從可以裝下當前寶石的體積 j=5 開始。

下面看一下 i=2 的情況：

我們可以看到，i=2的時候，從 j=3 開始，因爲第二塊寶石的體積大小爲3，如果不放入第一塊，只放入第二塊的話， j=3是符合要求的。
第一行就是 i=1 的求解結果，這裏作爲 i=2 的最優子結構。

當體積 j<5時，只裝入寶石2（V[2] = 3）獲取的價值最大；
而在 j>5 的時候，將 d[i-1][j] 、d[i-1][j-V[i]] + W[i] 進行比較，即不裝當前寶石與裝入當前寶石的總價值比較，選出一個最好的結果。
其中 j>=8時，d[i-1][j] = 20（表示不裝當前寶石的最高價值，因爲此時二者只可裝下一個，所以選總價值最高的裝），d[i-1][j-V[i]] + W[i]=30（表示裝下當前寶石的最高價值，因爲此時二者均可裝下，所以總價值爲兩個寶石價值和），此時最優解爲30。

i=3 的情況：

這個，按照上面的邏輯同樣可以分析清楚。

總結

對於初學者，動態規劃是比較難理解的，可以選擇多做幾題，多思考每一步是怎麼達到的。動態規劃的思想就是利用 空間換時間，開闢獨立的空間存儲最優子解，求新問題解=子問題+狀態轉移，這樣可以避免掉對於子問題的重複計算。在動態規劃中，狀態和狀態轉移方程式很重要的。
以上個人觀點，歡迎討論。

參考

動態規劃之揹包問題
Dynamic Programming - From Novice to Advanced
什麼是無後效性？
動態規劃