機試用到的數學知識和技巧

1. 裴蜀定理：說明了對於任何整數a,b和他們的最大公約數d=gcd(a,b)，關於未知數x,y的線性不定方程。即若a,b是整數，且d=gcd(a,b)，那麼對於任意整數x,y，ax+by都一定是d的倍數。由此可知，一定存在x,y,使ax+by=d成立，即ax+by=d一定有解。
   重要推論：a,b互質的充要條件是存在整數x,y，使ax+by=1。

2. 擴展歐幾里得定理：對於不完全爲 0 的整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數。那麼一定存在整數 x，y 使得 gcd（a，b）=ax+by。 題源：HDU-1495/上交2019機試第二題
   具體推導
   ax1+by1=gcd（a,b）
   bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)=gcd(a,b)
   ax1+by1=bx2+(a mod b)y2
   ax1+by1=bx2+[a-(a/b)*b]y2
   ax1+by1=ay2+b[x2-(a/b)*y2]
   x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2
   擴展歐幾里得、同餘方程學習

3. 如果一個數a與他的相反數做與運算，即a&(-a)，可得如下結果：
   a. 若a是奇數，則結果必爲1；
   b. 若a是偶數，則獲得該數的最低非零位；

待增加……