【人工智能學習筆記】 1.1數學分析(一) -1.集合及其運算

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集合及其運算

   數學以其嚴謹而富有邏輯性聞名於世,其嚴謹性在於交代清楚問題，對象，概念以及關係等方方面面的事物。而現代數學最爲關鍵的兩個部分就是集合論和公理化，故集合的重要性不言而喻。

集合論誕生於十九世紀 創始人是格奧爾格·康托爾 德國數學家 1845.3.3-1918.1.6

1.集合的概念

   在樸素集合論中，不能精確地定義什麼是集合。我們只能給出集合的直觀描述：具有某種屬性並且可以彼此區別的對象總體。

   集合中的每一個事物稱爲集合的元素。

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• 用a$\in$A 表示a是A的元素，讀作“a屬於A”；例如： $1\in \mathbb{N}$

• 用a$\notin$A表示a不是A的元素，讀作“a不屬於A”。例如：$-1 \notin \mathbb{R^+}$

• 人們用大寫英文字母A,B,C,…表示集合

• 用小寫英文字母a,b,c,…表示集合中的元素；

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2.集合的表示

(1) 列舉法：按照任意的順序列出集合中的全體元素，元素之間用逗號分開，然後用花括號括起來。

例如，A={a,b,c,d}，B={1,2,…}。
一般用於說明有限集合

(2) 描述法：設P(x)表示某個與x有關的條件或法則，用{$x|P(x)$}表示具有性質P 的集合。
例如，A={x|x=2n+1,n∈$\mathbb{N}$}
一般用於描述無限集合

2.1 常用的數集合

$\mathbb{N}$ ：自然數集合 N = {0,1,2,3,…}

$\mathbb{Z}$：整數集合 Z = {$0,\pm1,\pm 2$,…} = {…,-2,-1,0,1,2,…}

$\mathbb{Q}$：有理數集合

$\mathbb{R}$：實數集合

$\mathbb{C}$：複數集合

2.2 集合表示的注意事項

(1) 集合中的元素是各不相同的。

(2) 集合中的元素不規定順序。

(3) 集合的兩種表示法可以互相轉化，
例如， B={2,4,6,…}可用描述法表示爲
B={x|x>0且x是偶數} 或 B={x|x=2(k+1), k爲非負整數}。

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3.子集和全集

   如果集合A的任意元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集。記作A$\subseteq$B

   在數學討論中，所討論的集合都是某個固定集合的子集，則稱此固定集合爲全集。一般用E來表示。

3.1 真子集

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4.空集

   定義: 不擁有任何元素的集合稱爲空集合，簡稱爲空集，記作$\varnothing$。

   定理 空集是一切集合的子集。

   推論 空集是惟一的。

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5.集合的運算

(1) 並集：設A，B爲二集合，則稱由A和B的所有元素組成的集合爲A和B的並集，記作A∪B。
描述法爲：A∪B={x|x∈A或x∈B }
文氏圖

(2) 交集：設A，B爲二集合，則稱由A和B的公共元素組成的集合爲A和B的交集，記作A∩B。
描述法爲：A∩B={x|x∈A且x∈B }
文氏圖

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6.笛卡爾積

設A，B爲二集合，x∈A，y∈B，所有二元有序元素組(x,y)構成的集合，稱爲A與B的笛卡爾積，記作A$\times$ B
描述法爲：A$\times$B={(x,y)|x∈A,y∈B }
例：
設A={1,2,3}， B={2,3}
A$\times$B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}