【人工智能学习笔记】 1.1数学分析(一) -1.集合及其运算

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集合及其运算

   数学以其严谨而富有逻辑性闻名于世,其严谨性在于交代清楚问题，对象，概念以及关系等方方面面的事物。而现代数学最为关键的两个部分就是集合论和公理化，故集合的重要性不言而喻。

集合论诞生于十九世纪 创始人是格奥尔格·康托尔 德国数学家 1845.3.3-1918.1.6

1.集合的概念

   在朴素集合论中，不能精确地定义什么是集合。我们只能给出集合的直观描述：具有某种属性并且可以彼此区别的对象总体。

   集合中的每一个事物称为集合的元素。

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• 用a$\in$A 表示a是A的元素，读作“a属于A”；例如： $1\in \mathbb{N}$

• 用a$\notin$A表示a不是A的元素，读作“a不属于A”。例如：$-1 \notin \mathbb{R^+}$

• 人们用大写英文字母A,B,C,…表示集合

• 用小写英文字母a,b,c,…表示集合中的元素；

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2.集合的表示

(1) 列举法：按照任意的顺序列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来。

例如，A={a,b,c,d}，B={1,2,…}。
一般用于说明有限集合

(2) 描述法：设P(x)表示某个与x有关的条件或法则，用{$x|P(x)$}表示具有性质P 的集合。
例如，A={x|x=2n+1,n∈$\mathbb{N}$}
一般用于描述无限集合

2.1 常用的数集合

$\mathbb{N}$ ：自然数集合 N = {0,1,2,3,…}

$\mathbb{Z}$：整数集合 Z = {$0,\pm1,\pm 2$,…} = {…,-2,-1,0,1,2,…}

$\mathbb{Q}$：有理数集合

$\mathbb{R}$：实数集合

$\mathbb{C}$：复数集合

2.2 集合表示的注意事项

(1) 集合中的元素是各不相同的。

(2) 集合中的元素不规定顺序。

(3) 集合的两种表示法可以互相转化，
例如， B={2,4,6,…}可用描述法表示为
B={x|x>0且x是偶数} 或 B={x|x=2(k+1), k为非负整数}。

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3.子集和全集

   如果集合A的任意元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。记作A$\subseteq$B

   在数学讨论中，所讨论的集合都是某个固定集合的子集，则称此固定集合为全集。一般用E来表示。

3.1 真子集

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4.空集

   定义: 不拥有任何元素的集合称为空集合，简称为空集，记作$\varnothing$。

   定理 空集是一切集合的子集。

   推论 空集是惟一的。

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5.集合的运算

(1) 并集：设A，B为二集合，则称由A和B的所有元素组成的集合为A和B的并集，记作A∪B。
描述法为：A∪B={x|x∈A或x∈B }
文氏图

(2) 交集：设A，B为二集合，则称由A和B的公共元素组成的集合为A和B的交集，记作A∩B。
描述法为：A∩B={x|x∈A且x∈B }
文氏图

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6.笛卡尔积

设A，B为二集合，x∈A，y∈B，所有二元有序元素组(x,y)构成的集合，称为A与B的笛卡尔积，记作A$\times$ B
描述法为：A$\times$B={(x,y)|x∈A,y∈B }
例：
设A={1,2,3}， B={2,3}
A$\times$B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}