前言

$6:30$ 開考，我大概 $8:00$ 把這套題拍好，充分吸取 $\texttt{NOI Online}$ 的教訓，所以每題都拍上了。

正文

T1

題目描述

在一個網格圖中，每次可以從 $(x,y)$

向上移動到 $(x-1,y)$ ；

向下移動到 $(x+1,y)$

向左移動到 $(x,y-1)$

向右移動到 $(x,y+1)$

求從 $0,0$ 點出發，依此經過 $(x_1,y_1)\sim (x_n,y_n)$ 的最短距離

分析

網格圖中的最短距離 $=$ 曼哈頓距離

曼哈頓距離 $=$ 行的絕對值 $+$ 列的絕對值

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int n,ans,x[100010],y[100010];
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(x[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(y[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=abs(x[i]-x[i-1])+abs(y[i]-y[i-1]);
	}cout<<ans;
	return 0;
}

T2

題目描述

給出 $n$ 個人的名字和他們的 $\texttt{Rating}$ ，求這 $n$ 個人的排名（第 $i$ 個人的排名定義爲 $\texttt{Rating}$ 比第 $i$ 個人高的人數 $+1$ ）

分析

這題的答案跟名字沒有關係，而且數據範圍很小。

這樣的話，我們怎麼做都可以。

我的話是對這個數組進行排序，然後暴力查找這個最早出現在第幾個（因爲排名 $=$ $\texttt{Rating}$ 比他高的人數 $+$ $1$ ）

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int n,a[100010],b[100010];
string st[100010];
bool cmp(int a,int b){
	return a>b;
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>st[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),b[i]=a[i];
	sort(b+1,b+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)//暴力查找
			if(b[j]==a[i]){
				a[i]=j;
				break;
			}
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";
	return 0;
}

T3

題目描述

有 $4$ 個人 $\texttt{A,B,C,D}$ ，每個人有一個實力值。分別爲 $a,b,c,d$

你現在要把他們分成兩個隊伍，要求每個隊伍裏都得有人,並且使兩隊實力值之和的差最小。

分析

這題直接暴力找出所有方法就好了。

並沒有什麼技巧。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int main(){
	int a,b,c,d;
	read(a);read(b);read(c);read(d);
	int ans=INT_MAX;
	ans=min(ans,abs((a)-(b+c+d)));
	ans=min(ans,abs((b)-(a+c+d)));
	ans=min(ans,abs((c)-(a+b+d)));
	ans=min(ans,abs((d)-(a+b+c)));
	ans=min(ans,abs((a+b)-(c+d)));
	ans=min(ans,abs((a+c)-(b+d)));
	ans=min(ans,abs((a+d)-(b+c)));
	ans=min(ans,abs((b+c)-(a+d)));
	ans=min(ans,abs((b+d)-(a+c)));
	ans=min(ans,abs((c+d)-(a+b)));
	cout<<ans;
	return 0;
}

T4

題目描述

一個序列，你可以用一個單位的時間從頭部或尾部拿走一個數字，並得到這個數的值。你拿走這個數後，其他沒有被拿走的數字就會全部 $-1$ 。

分析

這題的話很顯然有一個結論，那就是喫的順序不會影響到答案。

這樣就簡單了，我們求遍和，再把該減的減去就行了。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int n,x,s;
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(x);
		s+=x;
	}
	cout<<s-(n-1)*n/2;
	return 0;
}

T5

題目描述

子序列的定義：序列 $\texttt{a}$ 是 $\texttt{b}$ 的子序列，當且僅當從 $\texttt{b}$ 中刪除若干個元素能得到 $\texttt{a}$ 。
小 $\texttt{R}$ 有兩個序列 $\texttt{a}$ ， $\texttt{b}$ ,
要求你找到一個最長的序列c,滿足以下條件中的任何一個:

c是a的子序列但不是b的子序列；

c是b的子序列但不是a的子序列；

因爲出題人不會寫 spj，所以就只要你輸出c的最長長度即可.
如果找不到,就輸出0.

分析

這題其實並不複雜。

如果兩個序列不完全相同，顯然答案 $=$ $\max\{$ 第 $1$ 個序列的長度，第 $2$ 個序列的長度 $\}$
如果兩個序列完全相同，答案自然是 $0$ 。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int a[100010],b[100010];//見到 105 我就害怕
int main(){
	int n,m;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	read(m);
	for(int i=1;i<=m;i++)read(b[i]);
	if(n!=m)cout<<max(n,m);
	else{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(a[i]!=b[i]){
				cout<<n;
				return 0;
			}
		cout<<0;
	}
	return 0;
}

T6

題目描述

有 $n$ 個石頭,第 $i$ 個石頭的座標爲 $a_i$ ，不保證 $a_i$ 有序。
你只能往前跳，並且你必須從 $0$ 開始，中途踩到所有的石頭並最後跳到座標爲m的位置。
你有一個能力值 $G$ ， $G$ 不是定值在一次跳躍中不會變化，但在一次跳躍中你每次能跳躍的距離不能大於你的能力值 $G$ 。
有時候你可能跳不到石頭上，這時候你就會落到河裏.安全起見,你只能落水不超過 $k$ 次。
求出爲了使落水不超過 $k$ 次，你至少需要的能力值。

分析

這個直接二分 $G$ ，看落水次數是否 $\leq k$ 就行了。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int a[100010],n,m,k;
bool check(int z){
	int cishu=0;//拼音應該看的懂的吧
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int x=a[i]-a[i-1]-1;
		cishu+=x/z;
	}
	return cishu<=k;
}
int main(){
	read(n);read(m);read(k);
	n++;//a[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)read(a[i]);
	a[++n]=m;//一點點的小技巧
	sort(a+1,a+n+1);
	int l=-1,r=INT_MAX;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))r=mid;
		else l=mid;
	}cout<<r;
	return 0;
}

T7

題目描述

有一個長爲 $n$ 的序列 $a_1,a_2,\sim,a_n$ 。
記 $s(L,R) = \max\{a[L],a[L+1],.....,a[R]\}-\min\{a[L],a[L+1],...a[R]\} (L\leq R)$ ，即 $s(L,R)$ 爲序列中第 $L$ 個數到第 $R$ 個數的最大值和最小值之差。
求出對於所有的滿足 $1\leq L\leq R\leq n$ 的 $L,R$ 的 $s(L,R)$ 之和。

分析

$\texttt{RMQ}$ 萬歲！智商不夠，數據結構來湊。

我的這種做法很不要動腦子，我暫時很沒找到別的做法。

$\texttt{RMQ}$ 算法

簡單講講 $\texttt{RMQ}$

$\texttt{RMQ}$ 又稱 $\texttt{ST}$ 表，可以實現 $O(1)$ 靜態區間查詢最大或最小值，線段樹的話會多一個 $\log$ 。並且這種算法初始化的時間複雜度也是非常優秀的—— $n\log_2 n$ 。

這個東西如何實現呢？這個東西本質上就是一個倍增。

定義 $F_{i,j}$ 表示第 $i\sim i+2^{j}$ 個數中最小的。

學過倍增的同學，這個遞推式應該很簡單就能推出來。

重點講查找，其實上面的內容可能不足爲奇，但是查找這部分確實有技術含量了。

首先，設一個數爲 $2^x$

對於任意數，一定可以找到 $x$ 滿足以下條件：

$2^x \leq$ 這個數
$2^x\times 2 \geq$ 這個數

沒有理解也沒關係，我們來看這個算法到達是怎麼實現的

這個圖應該還是滿直觀的

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
ll f1[17][100010],f2[17][100010],b[100010],a[100010],n,ans;
void bulid(){
	for(int j=1;j<=16;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			f1[j][i]=max(f1[j-1][i],f1[j-1][i+(1<<(j-1))]);
	for(int j=1;j<=16;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			f2[j][i]=min(f2[j-1][i],f2[j-1][i+(1<<(j-1))]);
}//RMQ
int Max(int l,int r){
	int len=r-l+1;
	return max(f1[b[len]][l],f1[b[len]][r+1-(1<<b[len])]);
}
int Min(int l,int r){
	int len=r-l+1;
	return min(f2[b[len]][l],f2[b[len]][r+1-(1<<b[len])]);
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)f1[0][i]=a[i];//RMQ初始化
	for(int i=1;i<=n;i++)f2[0][i]=a[i];//RMQ初始化
	bulid();
	for(int i=1;i<=16;i++)b[1<<i]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]+=b[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			ans+=Max(i,j)-Min(i,j);
	cout<<ans;
	return 0;
}

T8

題目描述

有一個長爲 $n$ 的序列 $a_1 \sim a_n$ ，保證序列裏的數字都是 $0$ 或 $1$ 。
記 $z(x)$ 爲關於整數 $x$ 的函數。

當 $x$ 爲奇數時 $z(x) = 1$ ；

當 $x$ 爲偶數時 $z(x) = 0$ 。

記 $f(L,R) = z(a[L]+a[L+1]+...+a[R])$ 。
記 $s(L,R) = z$ （所有滿足 $L\leq i\leq j\leq R$ 的 $f(i,j)$ 之和）
有 $q$ 次詢問，每次給你一個 $L,R$ ，要你求出 $s(L,R)$ 的值。

分析

找規律

這道題我們先不要管 $\bmod\ 2$ 。

我們先來看看 $1\sim n$ 中每個數在所有 $1\leq L\leq R\leq n$ 中 $L\sim R$ 的區間中被計算了多少次。（本來其實是希望用差分序列找通項式的，結果有意外的驚喜）

先來寫個程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int n,a[100010];
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
			for(int k=i;k<=j;k++)
				a[k]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";
	return 0;
}

我們來試試不同 $n$ 的值會對計算次數產生什麼影響。

當 $n$ $=$ $1$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 1；
當 $n$ $=$ $2$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 2 2；
當 $n$ $=$ $3$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 3 4 3；
當 $n$ $=$ $4$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 4 6 6 4；
當 $n$ $=$ $5$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 5 8 9 8 5；
當 $n$ $=$ $6$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 6 10 12 12 10 6；
當 $n$ $=$ $7$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 7 12 15 16 15 12 7。

這個時候我們再來關注一下 $\bmod 2$ 的餘數

當 $n$ $=$ $1$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 1；
當 $n$ $=$ $2$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 0 0；
當 $n$ $=$ $3$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 1 0 1；
當 $n$ $=$ $4$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 0 0 0 0；
當 $n$ $=$ $5$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 1 0 1 0 1；
當 $n$ $=$ $6$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 0 0 0 0 0 0；
當 $n$ $=$ $7$ 時，程序中的 $a$ 序列爲 1 0 1 0 1 0 1。

規律已經很明顯了

當 $n$ 爲偶數的時候，全部都爲 $0$ ；
當 $n$ 爲奇數的時候，一個 $0$ 一個 $1$ 間隔開來的。

所以

當詢問區間長度爲偶數時，直接輸出 $0$ ；
當詢問區間長度爲奇數是，答案爲 $a_L,a_{L+2},a_{L+4} \ldots a_{R}$

前綴和

如何求出 $a_L,a_{L+2},a_{L+4} \ldots a_{R}$ 呢？

我們可以用上前綴和。

我們這樣求出

for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-2]+a[i];//似乎RE一點點沒關係

這樣就好辦了，我們直接去解決詢問了。

while(T--){
    int l,r;
    read(l);read(r);
    if((r-l+1)%2==0)puts("0");//區間的長度爲偶數
    else{
        int ans=(s[r]-s[l-2])%2;
        printf("%d\n",ans);
    }
}

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
int a[100010],s[100010],n,T;
int main(){
	read(n);read(T);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-2]+a[i];
	while(T--){
		int l,r;
		read(l);read(r);
		if((r-l+1)%2==0)puts("0");//區間的長度爲偶數
		else{
			int ans=(s[r]-s[l-2])%2;
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

後記

這場比賽也正是檢查的好，只有有這個習慣，才能保證該有的分數能全部拿到。

到目前爲止，還有一點點的遺憾， $T8$ 我確乎不會對那個規律進行證明，繼續思考吧！

2020-5-9模擬賽題解

前言

正文

T1

題目描述

分析

代碼：

T2

題目描述

分析

代碼

T3

題目描述

分析

代碼

T4

題目描述

分析

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T5

題目描述

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代碼

T6

題目描述

分析

代碼

T7

題目描述

分析

RMQ\texttt{RMQ}RMQ 算法

代碼

T8

題目描述

分析

找規律

前綴和

代碼

後記

$\texttt{RMQ}$ 算法