⚠警告：本期極度無聊，非專業人士迅速離開。
“雙射”（bijective）其實是個比較土味的數學名詞，因爲在關係代數中我們更喜歡稱它爲“一一映射”。關係代數是研究集合之間“映射關係”的數學分支，然後集合的概念抽象到別的學科上就產生了各種細分理論，上一篇《VLQ偏移自然數》也是圍繞“雙射”這個主題展開的，即編碼與自然數一一映射。
其實在高中數學“排列組合”中就已經介紹了各種“雙射”的思想來解決實際問題，比如有100個球隊，兩兩進行淘汰賽，最後產生一名冠軍隊，請問要進行多少場比賽（無平局）？
按照常規思路，應該這樣分析：
第一輪要進 行 50 場 比賽 , 留下50 隊 ;
第 二輪 要進 行 25 場 比 賽 , 留下 25 隊 ；
第三輪 要進 行 12 場 比 賽 , 留下 13 隊 ;
第四 輪 要進 行 6 場比賽 , 留下 7 隊 ；
第五 輪要進 行 3 場 比賽 , 留下 4 隊 ；
第六輪 要進 行 2 場 比賽 , 留下 2 隊 ;
第七輪 是 一場決 賽 , 產生一 名冠 軍 隊；
因此總共進行了50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 2 + 1 = 99 場 比賽。
我相信，當看到“99”這個答案，你會意識到一定有更簡單的算法。。我們換個思路分析一下，每進行一場比賽一定淘汰掉一個隊：【一場比賽】和【淘汰一個隊】一一對應，那想要淘汰掉99個隊有且只有進行99場比賽。這種算法立即得到答案，比前面的“直覺式迭代”簡便得多，這道題類似於“空瓶換水問題”：好像是2個空瓶可以換1瓶水，然後問能買多少水來着，解題思路都是通過一一映射轉換問題，避免嘗試性解題。
排列組合公式
我們再看一道題：把 7 本 不 同的書 , 分給 甲 2 本 , 乙 1 本 , 丙 4 本 , 問有多少種 分 法?
這裏再介紹一種解題習慣：分而治之，即把大問題拆分爲可以獨立考慮的不同階段，本題中，可以先把乙和丙看成整體，問題變成：7本書分甲2本，其他人5本，有多少種分法？這樣直接調用無序組合數公式即可：C(7,2)=21種。
組合數公式是指從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素併成無序的一組，求得組合的總數量。
組合數公式：
在以上的21種分法中，無論剩下的5本書如何分配給乙和丙，都不影響已經分給甲的書，所以這21種情況是對稱的。然後分而治之的子問題就成了：把5本不同的書分給乙1本，分給丙4本，總共是C(5,1)=5本。再把問題整合起來，7本書分給甲乙丙2、1、4本共C(7,2)*C(5,1)=21*5=105種分法。
上面我們介紹了排列組合公式、分而治之和一一映射的技巧，下面綜合這些方法挑戰更難的問題。
數學建模
某城有 7 條 南北街 , 5 條東西街，共4*6=24個街區，某人 要從城 的西南角走 到東北角 , 問最短的 走法 有幾種?
街區：以四條街道爲邊圍成的區域。
此題有多種解法，但使用一一映射的思想來建模是最簡單的，首先我們把問題轉換成上面這個座標系，從O點走到A點的最短路徑有多少條，這一看就是道排列組合題，我們設每走過一個街區消耗1步，向右走記作x，向上走記作y。
無論怎麼走，總要向x軸方向走6步，向y軸方向走4步，總共走10步，但x和y出現的順序可以是任意的比如xxxyyyyxxx，每一種組合和一條最短路徑一一映射，設一個長度爲10的數組，數組中任取4個位置設爲x，剩下的爲y，總數量就是C(10,4)=210種。
“ 一一對應” 解題思路的關鍵是 建立 怎樣 的 “ 對應” 關 系 , 才 能方便 地達 到 解題 目的，這 是 一個技 巧 問題。
高中數學老師留給我映像最深刻的一句話是：數學應該越學越簡單，因爲你掌握的方法越來越多了。這句話真的是god damn right。
嚴格遞增數列
本期分享一共4道初等排列組合問題，難度依次遞增，下面利用之前所學的所有技巧挑戰最後一道題：
我們都知道在1，2，3，...，n這n個元素的數列中任取r個元素【無重複，r≤n】可以取到C(n,r)種不同的組合，也就是上面的組合數公式。那如果允許重複選取，比如全選1【r可以大於n】，有多少種組合？
解：
和排列數不同，組合數沒有順序（順序沒有意義），也就是說我們可以給它們強行排序。我們取一組實例：X1 ≤ X2 ≤ ... ≤ Xr，這是一組遞增數列。
下面，我們要把遞增數列映射到嚴格遞增數列，就是想辦法把所有“≤”變成“<”。爲啥？因爲嚴格遞增數列可以直接套用組合數公式呀！
我們從X1到Xr，分別加上0，1，2，...，r-1，得到Y1 < Y2 < ... <Yr，如下圖：
我們成功地把遞增的X數列一一映射成了嚴格遞增的數列Y，現在只要統計數列Y的數量就是數列X的數量。顯然【萬惡的顯然成立】每一個Y都不重複，而Yr ≤ n+r-1，此時的情況相當於從1，2，3，...，n+r-1中任取r個不重複的元素（每個元素只能選1次），可想而知，答案是C(n+r-1, r)。
從小學到大學，從初等數學到高等數學，考試成績總是兩極分化，其根本原因在於：幾乎每道題都有捷徑可走。如果觀察過考試題的答案就會發現，答案的形式總是異常簡單，都是簡短的表達式和數字，老師也不喜歡結果複雜的題目：即使題目很複雜，“解”總是很精簡。
於是有了一種逆向思維：既然已知結果的形式很簡單，那一定有簡單的算法。而“一一映射”就是這種數學捷徑之一：通過將原始問題映射到更簡單的模型。而這種映射總是能找到，在爭分奪秒考場上敢於“冒險”花時間尋找這種映射的學生成了學霸。這就是數學考試兩極分化的原因。
<完>
