二維旋轉矩陣和三維旋轉矩陣的推導

二維旋轉矩陣推導:

A沿Y軸逆時針旋轉\theta度後變爲點{A}'

x={OA}cos\varphiy={OA}sin\varphi

{x}'= {OA}'cos(\varphi +\theta )={OA}'(cos\varphi cos\theta -sin\varphi sin\theta )=xcos\theta -ysin\theta

{y}'={OA}'sin(\varphi +\theta )={OA}'(sin\varphi cos\theta +cos\varphi sin\theta )=ycos\theta +xsin\theta

則旋轉矩陣R\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

同理可得在三維座標系(右手準則)下:

X軸逆時針旋轉\theta角度旋轉矩陣R$_{x}$爲:\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

Y軸逆時針旋轉\theta角度旋轉矩陣R$_{y}$爲:\begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix}

Z軸逆時針旋轉\theta角度旋轉矩陣R$_{z}$爲:\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

則三維旋轉矩陣爲:R=R$_{x}$R$_{y}$R$_{z}$

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