Hankson 的趣味題(最大公約數和最小公倍數)

原題鏈接：https://www.luogu.org/problem/P1072

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech，生物技術) 領域的知名專家，他的兒子名叫 Hankson。現在，剛剛放學回家的 Hankson 正在思考一個有趣的問題。

今天在課堂上，老師講解了如何求兩個正整數c1​ 和 c2​ 的最大公約數和最小公倍數。現在 Hankson 認爲自己已經熟練地掌握了這些知識，他開始思考一個“求公約數”和“求公倍數”之類問題的“逆問題”，這個問題是這樣的：已知正整數a0​,a1​,b0​,b1​，設某未知正整數x 滿足：

1． x 和 a0​ 的最大公約數是 a1​；

2． x 和 b0​ 的最小公倍數是b1​。

Hankson 的“逆問題”就是求出滿足條件的正整數x。但稍加思索之後，他發現這樣的x 並不唯一，甚至可能不存在。因此他轉而開始考慮如何求解滿足條件的 x 的個數。請你幫助他編程求解這個問題。

輸入格式

第一行爲一個正整數 n，表示有 n 組輸入數據。接下來的n 行每行一組輸入數據，爲四個正整數a0​,a1​,b0​,b1​，每兩個整數之間用一個空格隔開。輸入數據保證 a0​ 能被 a1​ 整除，b1​ 能被b0​整除。

輸出格式

共 n行。每組輸入數據的輸出結果佔一行，爲一個整數。

對於每組數據：若不存在這樣的 x，請輸出 00；

若存在這樣的x，請輸出滿足條件的x 的個數；

輸入

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776

輸出

6 
2

說明/提示

【說明】

第一組輸入數據，x可以是 9,18,36,72,144,288，共有6 個。

第二組輸入數據，x 可以是48,1776，共有 2 個。

【數據範圍】

對於 50%的數據，保證有 1≤a0​,a1​,b0​,b1​≤10000 且n≤100。

對於 100%的數據，保證有1≤a0​,a1​,b0​,b1​≤2,000,000,000 且 n≤2000n≤2000。

NOIP 2009 提高組 第二題

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按照題目的核心意思枚舉gcd和lcm

優化：

在循環判斷i的時候，只需循環到sqrt(b1)即可，每次判斷i和b1/i

----------------------------另一種思路--------------------------

對於兩個正整數a,b，設 gcd(a,b)=k，則存在gcd(a/k,b/k)=1
gcd(b1/b0,b1/x)=1
用心體會這兩個式子，發現x是a1的整數倍且是b1的因子 
b√1枚舉b1的因子(也就是x)，如果這個數是a1的整數倍，並且滿足那兩個式子，ans++
gcd(x/a1,a0/a1)=1;
gcd(b1/b0,b1/x)=1;

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#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

int n,a0,a1,b0,b1;
 
//求最大公約數 
int gcd(int a,int b){
	if (b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

//返回兩數的最小公倍數
int gbs(int a,int b){
    return (long long)a*b/gcd(a,b);	
} 

int main(){
	//freopen("son.in","r",stdin);
	//freopen("son.out","w",stdout);
	cin>>n;

	while (n--){
		scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1); //使用scanf提速
		 
		int cnt=0;
		for (int i=1;i<=sqrt(b1);i++){
			if (b1%i==0){			
				if (gcd(i,a0)==a1&&gbs(i,b0)==b1) cnt++;
				if (b1!=i*i)
                   if(gcd(b1/i,a0)==a1 && gbs(b1/i,b0)==b1)//優化
                       cnt++;
			}			
		}		
		cout<<cnt<<endl;		
	}	
	
	//fclose(stdin);
	//fclose(stdout);
	return 0;
}