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追赶法基础理论
在数值计算中，对三次样条曲线插值和用差分方法求解常微分方程边值问题时，通常会遇到Ax=d三对角形式的方程组：
利用三对角矩阵的LU分解建立计算量更少的线性方程组求解公式，现将系数矩阵A进行克劳特分解，即A分解为下三角矩阵和单位上三角矩阵的乘积：
（2）
（2）计算
的公式：
，
，
，
； （3）
的公式：
，
，
，
； （3）
求解Ax=d等价于求解Ly=d和Ux=y.
因而经过推导得到解三对角线性方程组的追赶法公式.
- 计算
的递推公式：
，
，
； （4）
- 解Ly=d：
，
，
； （5）
- 解Ux=y：
，
，
； （6）
的递推公式：
，
； （4）
，
，
，
，
； （6）整个求解过程是先有（4）式和（5）式计算
追赶法c++程序代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip> //参数化输入/输出
using namespace std;
//*****************************
//追赶法求解AX=B矩阵
//*****************************
vector<double> Chasing_method(vector<vector<double>>a, vector<double>d)
{
int n = size(d);
vector<double>x(n);
vector<double>alpha(n);
vector<double>gama(n);
vector<double>beta(n);
vector<double>y(n);
alpha[0] = a[0][0];
beta[0] = a[0][1] / a[0][0]; y[0] = d[0] / a[0][0];
for (int i = 1; i < n; i++)
{
gama[i] = a[i ][i - 1];
alpha[i] = a[i][i] - gama[i] * beta[i - 1];
if (i < n- 1)
{
beta[i] = a[i ][i + 1] / alpha[i];
}
y[i] = (d[i] - a[i][i - 1] * y[i - 1]) / alpha[i];
}
x[n- 1] = y[n- 1];
for (int i = n- 2; i >= 0; i--)
{
x[i] = y[i] - beta[i] * x[i + 1];
}
return x;
}
int main()
{
vector<vector<double>>a(4, vector<double>(4));
vector<double>b(4);
vector<double>x(4);
a[0] = { 3,4,0,0 }; a[1] = { 1,4,1,0 }; a[2] = { 0,1,6,1 }; a[3] = {0,0,2,8 };
b = { 10,11,30,48 };
x = Chasing_method(a, b);
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
for (int j = 0; j < 4; j++)
{
cout << fixed << setw(8) << setprecision(4) << a[i][j];
}
cout << fixed << setw(8) << setprecision(4) << b[i] << endl;
}
cout << "追赶法求解：" << endl;
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
cout<<"x"<<i<<"= " <<x[i] << endl;
}
}
程序运行结果
