數值計算——拉格朗日插值方法(附代碼)

一般拉格朗日插值多項式：

                                             

2.1如圖拉格朗日多項式插值結果，預測不準

2.2如圖，擬合曲線兩端出現鉅變，出現龍格現象。

2.3此拉格朗日插值多項式不是數據的好模型，由於被插值區間數據較少，出現龍格現象。

2.4如圖，前 4 個數據點的三次多項式估計 1998 年世界石油產量爲74.258（桶/天），Runge 現象不會出現。

c++程序源代碼：

//拉格朗日多項式插值，龍格現象，高等數值計算
//開發人員：chenshuai  開發日期：2019.11.5  郵箱：[email protected] 

#include "pch.h"
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
#define num  3   //擬合多項式次數
#include <vector>
#include <fstream>//文件輸入/輸出流 
#include <iomanip> //參數化輸入/輸出 
double Lagrange(double x, vector<double>x_i, vector<double>y_i);//定義拉格朗日插值函數
double Lagrange(double x,vector<double>x_i,vector<double>y_i)
{
	int  n = size(x_i);
	double ln_x = 0, w_i = 1.0;
	for (int k = 0; k <n; k++)
	{
		w_i = 1;
		for (int j = 0; j <n; j++)
		{
			if (k != j)
				w_i = w_i * (x - x_i[j]) / (x_i[k] - x_i[j]);
		}
		ln_x = ln_x + w_i * y_i[k];
	}
	return ln_x;
}
int main()
{
	/*vector<double>x_i = {1994, 1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003 };
	vector<double>y_i = { 67.052,68.008,69.803,72.024,73.4,72.063,74.669,74.487,74.065,76.777 };*/
	vector<double>x_i = { 1994, 1995,1996,1997 };
	vector<double>y_i = { 67.052,68.008,69.803,72.024};
	double x=1998,y=0;
	int n = 50;//插值等分數
	y = Lagrange(x, x_i, y_i);
	cout << "1998年的石油產量=" << fixed << setprecision(4) << setw(8) << y << endl;
	ofstream out("插值結果.dat");
	for (int i = 0; i  <= num; i++)
	{
		out << fixed << setprecision(4) << setw(12) << x_i[i] << fixed << setprecision(4) << setw(15) << y_i[i] << endl;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		x = 1994 + double(1997 - 1994) / (n - 1)*i;
		cout << x << endl;
		y= Lagrange(x, x_i, y_i);
		out << fixed << setprecision(4) << setw(12) << x<< fixed << setprecision(4) << setw(15) << y<< endl;
	}
	out.close();
}