求任意整數模3的餘數

在回答這個問題之前，首先思考另一個問題：爲什麼是模3的餘數，而不是2或5？

那是因爲3很特殊，求一個數模3的餘數時，有一種巧妙地解法。

算法

算法是將這個數的各位數字加起來，重複這一過程，直到最後得到一位數，這一位數模3的結果就是最終答案。

比如求17%3，1+7=8，8%3=2，於是17%3=2。

參考代碼：

func mod3(num int) int {
	sum := num
	for sum/10 != 0 {
		tmp := sum
		sum = 0
		for tmp != 0 {
			sum += tmp % 10
			tmp /= 10
		}
	}
	return sum % 3
}

無論是正數還是複數都可以用這個方法求解。

原理

原理和數的進制有關，其實特殊的並不是3，而是數字9。

對於任意一個數n，可以寫成a×10+b的形式，同時也可以寫成3×n+m的形式。於是：

$a\times10+b=n\times3+m\\ a\times(9+1)+b=n\times3+m\\ a\times9+(a+b)=n\times3+m\\ a+b=k\times3+m$

因此n和它各個位上數字之和模3具有相同的餘數。這其中起關鍵作用的正是9，因爲3是9的約數，因此可以享受這份神奇。

推廣開來，只要是9的約數或倍數，其實都可以用這個算法來求餘數。但是需要注意，大於9的數字的餘數可能會大於10。因此不能加到只剩一位了再取餘，而是加到大於該數的最小數字結束。

比如求28模18的餘數，由於2+8=10<18，因此不能把2和8加起來，應該直接取餘。

在10進制下，9是最大的一位數，因此具有了這種魔力。繼續推廣，在m進制中，m-1也具有相同的魔力。比如8進制下，7的約數及倍數也可以用這個算法求餘數，16進制下，15的約束和倍數可以用這個算法求餘數。當然前提是數字要轉換成相應的進制進行計算，因爲這是一個和進制有關的遊戲。