codeforces E. Modular Stability

題目

題意：

給你$n,k$表示$1\leq a_1,a_2,.....a_k\leq n$，然後是否存在這樣的一個$a$序列滿足$(((x\% a_1)\% a_2)…\% a_{k−1})\% a_k=(((x\% a_{p1})\% a_{p2})…\% a_{pk−1})\% a_p$
$x$是一個正整數。

思路：

要滿足上述公式的話，那麼最後的值一定要爲$0$，如果不爲$0$的話，那麼$x$肯定會出現使這個公式不成立的，比如$2,3$和$3,2$，那麼當$x=3$的時候，就不同了，所以只有整除後纔會無論怎麼取模都爲$0$，都符合公式，那麼最後能夠取模爲$0$的話，那麼就是倍數的關係，比如說$3,6,9$最後無論怎麼取都相當於$\% 3$,所以最後能取得就是倍數得關係，我們可以遍歷一下$1$~$n$，那麼此時對於每一個$i$總共能夠取$n/i$個數字，然後這其中要有一個最小$i$這樣無論怎麼取都是$i$得倍數，所以$ans_i=C_{(n/i-1)}^{k-1}$，最後的公式就是$\sum ^{i\leq n}_{i=1}C_{(n/i-1)}^{k-1}$。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
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#include <string>
#include <cmath>
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#include <map>
#include <deque>
#include <stack>
#include <cctype>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> veci;
typedef vector<ll> vecl;
typedef pair<int, int> pii;
template <class T>
inline void read(T &ret) {
    char c;
    int sgn;
    if (c = getchar(), c == EOF) return ;
    while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    sgn = (c == '-') ? -1:1;
    ret = (c == '-') ? 0:(c - '0');
    while (c = getchar(), c >= '0' && c <= '9') ret = ret * 10 + (c - '0');
    ret *= sgn;
    return ;
}
int xxxxxxxxx = 1;
inline void outi(int x) {if (x > 9) outi(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}
inline void outl(ll x) {if (x > 9) outl(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}
inline void debug(ll x) {cout << xxxxxxxxx++ << " " << x << endl;}
inline void debugs(string s) {cout << s << endl;}
const int maxn = 5e5 + 10;
const int mod = 998244353;
ll fac[maxn] = {0};
ll quickpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1, base = a;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll C(ll n, ll m) {
    if (n < m) return 0;
    return fac[n] * quickpow(fac[m] * fac[n - m] % mod, mod - 2) % mod;
}
int main() {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for (int i = 1; i <= maxn - 1; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    ll n, k, sum = 0;
    read(n), read(k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (n / i - 1 >= k - 1) sum = (sum + C((ll)(n / i - 1), k - 1)) % mod;
        else break;
    }
    outl(sum);
    return 0;
}