多維數組和廣義表（C++）

線性表、棧、隊列和串都是線性表的數據結構，他們的邏輯結構特徵是：每個數據元素之多有一個直接前趨和直接後繼。對於多維數組和廣義表是一種複雜的非線性結構，它們的邏輯特徵是：一個元素可能有多個直接前趨和多個直接後繼。

一、數組概念

1. 一維數組
   可以看成是一個線性表或一個向量，在計算機中是一段連續的存儲單元，適用於隨機查找。

2. 二維數組
   
   由圖可以知道，每個元素最多由兩個直接前驅和兩個直接後繼（邊界除外），故是一種典型的非線性結構。

多維數組最多有多個直接前驅和直接後繼，也是非線性結構。

1. 多維數組在計算機內的存儲
   由於內存結構是一維的，故必須按照某種次序將數組元素排成一個線性序列。

二、多維數組的存儲結構

數組是先定義後使用，且爲靜態分配存儲單元，所以採用順序存儲。有行優先順序存儲、列優先順序存儲。

對於數組 A(nxm)
1. 行優先 順序存儲

(ａ11->a12->a13->...a1n)->(a21->a22->a23->...a2n)->...(am1->...->amn)

最左邊下標變化慢，做ｆｏｒ外層循環；右邊變化快，做ｆｏｒ內層循環。

ａij地址：前面有ｉ行（ｉ×ｎ），改行前面有ｊ個元素

LOC(ａij) = LOC(a00) + (i*n+j)*d  // d爲每個元素所佔空間大小
// 三維數組
LOC(ａijk) = LOC(a000) + (i*n*p+j*p+k)*d

2 . 列優先 順序存儲

(ａ11->a21->a31->..an1)->(a12->a22->a32->...an2)->(a1m->a2m->...->anm)

最又邊下標變化慢，做ｆｏｒ外層循環；左邊變化快，做ｆｏｒ內層循環。

ａij地址：前面有ｊ列（ｊ×m），改行前面有i個元素

LOC(ａij) = LOC(a00) + (j*m+i)*d  // d爲每個元素所佔空間大小
// 三維數組
LOC(ａijk) = LOC(a000) + (j*m*p+i*p+k)*d

三、　特殊矩陣的壓縮存儲

所謂壓縮，即當矩陣元素分佈呈某種規律時，可以多個元素共用一個存儲單元，以實現節約存儲單元。簡單的說，就是多個值相同的元素只分配一個存儲單元，值爲０的不分配空間。

可以理解爲將二維數組（矩陣）壓縮到一個存儲單元數目少的一維數組中。而爲了方便存儲後直接找到某元素，還必須給出壓縮前下標和壓縮後下標之間的變換公式。

１．　對稱矩陣

aij = aji  // A(nxn)

以矩陣的對角線爲分隔，分爲上三角和下三角 。壓縮存儲對稱矩陣存儲時只需要存儲上三角/下三角的數據，所以最多存儲n(n+1)/2個數據（相當於1+2+…+n,即等差數列求和）。

對稱矩陣和壓縮存儲的對應關係：
（1）下三角存儲

// 二維數組爲壓縮前的元素，一維數組放壓縮後的元素
    int s[k], a[i][j];
    if (i >= j) 
        a[i][j] = s[ i*(i+1)/2 + j ]; 
    else(i < j)
        a[i][j] = s[ j*(j+1)/2 + i ];

（2）上三角存儲

    int s[k], a[i][j];
    if (i <= j) 
        a[i][j] = s[ i*n-i(i-1)/2 + j-i ]; 
    else(i > j)
        a[i][j] = s[ j*n-j(j-1)/2 + i-j ];

2、 三角矩陣
（1）下三角
它的主對角線以上(不包括主對角線)的元素均爲常數0（或相同的常數）
其壓縮存儲與對稱矩陣的類似，但必須多一個存儲單元存放上三角部分元素，使用的存儲單元爲n(n+1)/2 + 1

假設仍按行優先存放，有

if (i >= j)
    a[i][j] = s[ i(i+1)/2 + j ];
else (i < j)
    a[i][j] = s[ n(n+1)/2 ];

（2）上三角
它的主對角線以下(不包括主對角線)的元素均爲常數0（或相同的常數）

if (i <= j)
    a[i][j] = s[ i*n-i(i-1)/2 + j-i ];
else (i > j)
    a[i][j] = s[ n(n+1)/2 ];

3、 對角矩陣
若矩陣中所有非零元素都集中在以主對角線爲中心的帶狀區域中，則爲對角矩陣，常見的有三對角矩陣，五對角矩陣，七對角矩陣等。
以三對角矩陣爲例：
在一個 n*n 的三對角矩陣中，只有 n+n-1+n-1 個非零元，共需要3n-2 個存儲單元，零元不佔存儲單元。

    int s[3n-2], a[i][j];
    if (i = j+1)
        a[i][j] = s[3i-1];
    else if (i = j)
        a[i][j] = s[3i];
    else (i = i-1)
        a[i][j] = s[3i+1];

4、稀疏矩陣

矩陣階數大，非零元數目少，零元多，非零元的排列沒有規律的矩陣。
由於沒有規律，除了存放非零元的值外，還需要適當的輔助信息（行列號）才能迅速確定一個元素。有以下這些存儲方法：

（1）三元數組
所謂三元：元素值、行號、列號
整個稀疏矩陣中非零元的三元組合起來稱爲三元組表。

數據類型描述：

#include <iostream>
using namespace stdl;

const int maxsize = 100;
class node
{
public:
    int i,j;  // 非零元行、列號
    int v;    // 非零元值
};
class sparmatrix  // 定義稀疏矩陣
{
public:
    int rows,cols;       // 行、列數 
    int terms;           // 非零元個數
    node data[maxsize];  // 三元組表 
} 

（2）帶行指針的鏈表

把具有相同行號的非零元用一個單鏈表連接起來，稀疏矩陣的N行組成N個單鏈表，合起來稱爲帶行指針的鏈表。

（3）十字鏈表

當係數矩陣中的非零元位置或個數經常變動時，三元組就不適合採用了，用鏈表作爲存儲結構更合適。

每個非零元既是第 i 行循環的一個節點，又是第 j 列的節點，相當於處在十字交叉路口，故稱爲十字鏈表。

class linknode
{
public:
    int i,j;  // 行、列號
    linknode *cptr, *rptr;  // 行、列指針
    union vnext   // 定義一個共同體
    {
        int v;   // 表節點使用v域,表示非零元值
        linknode *next; // 表頭節點使用next指向下一個表頭節點
    } k;
    ...
};

5、 廣義表

廣義表是n個元素的有限序列，其中的每一項可以使原子項，也可以是一個子表。一般用LS表示廣義表，ls表示子表。

廣義表舉例：

 F = （ ）; // F 爲空表，長度爲0
 G = (a, (b, c)); // 長度爲2，第一項爲原子，第二項爲子表
 H = (x,y,z); // 長度爲3，都是原子
 D = (B,C); // 都是子表
 E = (a,E); // 長度爲2，一個原子一個子表

廣義表的深度 = 括號層數

分類：
（1）線性表：元素都是原子
（2）純表：元素都是原子或都是子表，與樹對應，如圖（a）(d)
（3）再入表：與圖對應，允許節點共享，如 (d)
（4）遞歸表：如圖(e) D = (a, D);