精度丟失
在工作中經常會遇到數值精度問題，比如說使用float或者double的時候，可能會有精度丟失問題，下面來總結一下吧。
爲了引出問題，先看一個例子（Java代碼）：
public static void main(String[] args) {
float f = 2.25f;
double d = (double) f;
System.out.println(d);
f = 2.2f;
d = (double) f;
System.out.println(d);
}
結果如下：
2.25
2.200000047683716
問題出現了，單精度類型的2.2在轉換爲雙精度類型後，2.2變成了2.200000047683716。
下面分析下原因。
對於浮點類型，Oracle的JVM規範(jdk8)是這樣定義的：
浮點類型是 float和double，它們在概念上與32位單精度和64位雙精度格式的IEEE 754值以及在IEEE二進制浮點算術標準（ANSI / IEEE Std。 754-1985，紐約）。
引文可參考：浮點類型，值集和值。
那麼什麼是IEEE二進制浮點算術標準呢？
IEEE二進制浮點數算術標準（IEEE 754）是20世紀80年代以來最廣泛使用的浮點數運算標準，爲許多CPU與浮點運算器所採用。這個標準定義了表示浮點數的格式（包括負零-0）與反常值（denormal number）），一些特殊數值（無窮（Inf）與非數值（NaN）），以及這些數值的“浮點數運算符”；它也指明瞭四種數值舍入規則和五種例外狀況（包括例外發生的時機與處理方式）。
官方文檔：754-2008-浮點算法的IEEE標準
簡單來說，就是IEEE 754定義了一種浮點類型數值在計算機內部的存儲方式。
無論是單精度還是雙精度在存儲中都分爲三個部分：
- 符號位(sign) : 0表示正，1表示負。佔1bit；
- 指數位（biased exponent）:首先exponent表示該域用於表示指數，也就是數值可表示數值範圍，而biased則表示它採用偏移的編碼方式。那麼什麼是採用偏移的編碼方式呢？也就是位模式中沒有設立sign-bit，而是通過設置一箇中間值作爲0，小於該中間值則爲負數，大於改中間值則爲正數。IEEE 754中規定bias = 2^e-1 - 1，e爲Biased-exponent所佔位數；
- 尾數部分（trailing significand field）：尾部有效位字段，也就是數值可表示的精度。
如下圖所示：
對於單精度類型（32bit）和雙精度類型（64bit），其不同之處在於指數位，單精度爲8位指數位，而雙精度爲11位。其實裏面有個公式，可以對不同精度的數值算出不同的指數位，這裏不展開了。
如圖所示：
再回到上面那個問題，2.25的單精度和雙精度分別是：
單精度：0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000
雙精度：0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
這樣2.25在進行強制轉換的時候，數值是不會變的，而我們再看看2.2呢。
2.2的小數部分在轉換爲二進制的時候，是乘不盡的，得到的二進制是一個無限循環的排列 00110011001100110011…，如果是單精度的，那麼就是：
單精度：0 1000 0001 001 1001 1001 1001 1001 1001
那麼以這樣的存儲方式，當它再轉換爲十進制的時候，就不再是2.2了。
雙精度也是如此。
這就是精度的丟失。
BigDecimal
BigDecimal爲什麼就能避免精度的丟失問題呢？
首先，BigDecimal的存儲方式並不是像浮點類型一樣在計算機中直接存儲的，而是Java通過封裝了一系列的基本類型來實現的，它會把一個浮點類型的數值拆分進行分別存儲。
BigDecimal裏面有下面四個主要的字段：
private final BigInteger intVal;
private final int scale;
private transient int precision;
private final transient long intCompact;
- intVal：有效數字（去掉前綴0和小數點）的數值，比如-092233720368.54775807,intVal就是-9223372036854775807。
- scale：比例尺度，也就是小數位數。比如說2.567，那麼scale就是3;如果沒有小數位，那麼scale就是0.
- precision：精度，也就是有效數字的位數。比如12.567，那麼precision就是5,即使輸入“-0012.567”，precision仍然是5。
- intCompact：由於intVal的類型是BigInteger，需要佔用更多的內存空間，所以增加了long類型的intCompact字段。如果此BigDecimal的有效數字的絕對值小於或等於Long.MAX_VALUE，該值可以存儲在此字段中，並用於計算。
這樣的存儲組合方式，就可以在計算的時候直接使用intVal或者intCompact進行計算了，而整數直接的計算是不會產生精度丟失問題的。
如果有小數的話，只需要對比scale，然後補全scale較小的那個值，進行小數點對齊之後再計算就可以了。
比如說9.53和2.1進行相加的時候，實際上就是scale=2的條件下的953+210=1163，因爲scale=2，所以表示的真實數值就是11.63.