幾類網絡流的建模

1

區間 $k$ 覆蓋問題
有一些區間，選擇一個區間會產生一些收益。要去每個點覆蓋它的區間最多不超過 $k$ 個。

一開始的想法是源點連每個區間代表的點，區間代表的點連向序列裏的每個數，每個數連向匯點。發現這樣無法限制題目要求，因爲選擇一個區間實際上對應很多邊流量同時+1，網絡流並不能處理這種情況，這是典型的“一對多”問題。

嘗試更改建圖策略，對於一個區間 $[l,r]$，我們連邊 $l\rightarrow r+1$，流量 $1$，費用 $k$，$i$ 向 $i+1$ 連流量 INF 費用 0 的邊。求 1 到 $n$ 流量爲 $k$ 的最大費用流。實際上是用了 $i$ 到 $i+1$ 這條邊代表了 $i$ 這個數，流一條有費用的邊代表選擇這個區間。

證明：首先，這樣跑出來的方案都是合法的，即不存在一個點被超過 $k$ 個區間覆蓋。然後，每一種合法方案都能被表示成至多 $k$ 組不相交的區間。

2

志願者招募
有 $n$ 天需要志願者，第 $i$ 天需要 $a_i$ 名。共有 $m$ 種志願者，第 $i$ 種志願者可以工作第 $s_i$ 到 $t_i$ 天，每個人花費 $c_i$ 元。求最小費用，滿足每一天的需求。

這是典型的“一對多”問題。我們嘗試用 1 的流量去覆蓋 $s_i$ 到 $t_i$ 天。類似上一題，源點連 1，流 INF 費 0，$i$ 向 $i+1$ 連流 INF-ai 費 0，$n$ 連匯點流 INF 費 0，$s_i$ 向 $t_i+1$ 連流 INF 費 $c_i$。流一條$s_i$ 向 $t_i+1$ 的邊相當於僱傭了一種這樣的人，INF-ai 的邊限制了跨國這一天的流量至少爲 $a_i$。

上面兩個問題的共性是“一對多”，解決方法是把一些東西“串成串”，用 1 的流量覆蓋一段區間。

3

養貓
你養了一隻貓，爲了讓它快樂地成長，你需要合理地安排它每天的作息時間。假設一天分爲 n 個時刻，貓在每個時刻要麼是喫東西，要麼是睡覺。在第 i 個時刻，假如貓是去喫東西，那麼它能獲得愉悅值 $e_i$，假如是去睡覺，那麼能獲得的愉悅值爲 $s_i$。
貓要成長，不僅僅需要快樂，還需要健康的作息。經過研究，對於每一個連續的長度爲 k k 的作息區間，即所有的時刻區間 $[i, i + k - 1], 1 \leq i \leq n-k+1$，貓都要至少有 $\text{ms}$ 的時刻用來睡覺，$\text{me}$ 的時刻用來喫東西，這樣貓才能健康成長。

現在你想合理地安排一天中的這 $n$ 個時刻，使得貓在能健康成長的前提下，獲得儘量多的愉悅值。

注意到：給定一個序列，求是否每個長度爲 k 的子區間的和都大於某個 M，等價於對於每個數 a_i，把 $a_i,...,a_{i+k-1}$ 同時加上 $a_i$，最後看是否每個數都大於 M。

顯然的想法是先每天都睡覺，然後把某些天改成喫東西。根據上面說的，如果我們改了某一天就把它後面的 k 天+1，那麼限制等價於操作完後每一天+1的數量在一個區間裏。

我們把天串一串，i向i+k連流量1費用e-s，表示把這一天改爲喫東西，覆蓋後面k天。i向i+1連k-ms-me，源點連向1流量k-s費用0，n向匯點流量k-s費用0.

在外面跨過 i,i+1 的邊的數量就是+了多少1.它的上界由總流量限制，下界由 i,i+1 的流量限制。

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4

切糕
$n\times m$ 的棋盤，每個位置設置一個高度 $0<h_{i,j}\leq R$，代價爲 $cost_{i,j,h_{i,j}}$。要求滿足每對邊相鄰的格子高度差的絕對值小於等於一個常數。求最小代價。

這道題建模比較新穎。每個格子只能選擇一個高度，因此我們把每個高度建一個點，串一串，割掉 $i$ 向 $i+1$ 的邊表示選擇 $i$ 這個高度。問題轉化成了最小割。考慮相鄰高度差的限制，如圖：
每個高度 $h$ 向周圍 $h-D$ 連 INF，這樣如果割掉了綠邊，那麼紅邊及下面的邊是不能選的。

這類問題可以看作有一些變量，每個變量有一些選擇。可以把選擇與割對應起來，轉化成最小割問題。

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5

文理分科
班級是一個 $n\times m$ 的網格圖，每個人選文有一定收益，選理有一定收益，一個人和周圍的四個人同時選文有一定收益，同時選理有一定收益，求最大收益。

這類題稱作“二元關係網絡流”，如圖：

感覺講的聽清楚。待補。

5

一棵樹 $m$ 對點，每次可以花費 $1$ 的代價給一條邊標記或者給一對點標記。滿足每對未標記點的路徑上的所有邊都被標記。
$n,m\leq 10000$
要麼點對被覆蓋，要麼之間所有邊被覆蓋。建二分圖，左邊是點對，右邊是邊，每個點對向它們之間所有的邊。求最小割即可。向樹上的一條路徑連邊，可以倍增或者樹剖優化。

6

給定一個由單位正方體組成的物體的俯視圖，求最多拿掉多少正方體使得三視圖不變。
$n,m<=100$