導語：現代數學入門的鑰匙就是實變函數與泛函數分析。數學，物理學，計算機學科，神經生物學相互交叉構成了AI的基礎。深入研究AI，尤其是神經規則推理以及下一代AI技術，必須修煉好內功。非數學專業的學生，可能學過傅立葉變換，方向導數與梯度這些。但是對這些概念的理解還需要繼續深入，除了泛函數分析，與此相關的還有凸優化，矩陣論，這些都是必修的內功。關於數據結構，要達到能夠獨立設計優秀的數據結構的程度，不僅限於使用現成的工具（本人有優先級隊列設計的博客：https://blog.csdn.net/randy_01/article/details/82835837）。可以業餘研究一下類腦學科，心理學，爲AI的理論創新打下基礎。關於當前的AI以及nlp的看法，歡迎看本人的這篇博客，不吝賜教：https://blog.csdn.net/randy_01/article/details/82837263
總述：內積空間中的內積可以定義範數，反之，範數不一定非要內積來定義，所以說賦範線性空間是比內積空間更廣泛的概念。距離可以用範數定義，反之，只有距離滿足平移不變和齊次性才能定義一個範數，因此度量空間比賦範線性空間廣泛。Banach空間是完備的賦範線性空間。Hilbert空間是完備的內積空間。所以Hilbert空間是Banach空間的特例，Banach空間是完備距離空間的特例。在數學裏，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空間是一個完備賦範向量空間。更精確地說，巴拿赫空間是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。Lp空間是由p次可積函數組成的空間；對應的lp空間是由 p次可和序列組成的空間。在泛函分析和拓撲向量空間中，他們構成了Banach空間一類重要的例子。
之前的測度論，可測函數積分以後補上。
1.距離與範數
距離與範數的關係：
範數的確定值：
以下爲本人的證明：
依照範數的4個性質來區分誰是半範數，誰是範數。
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