本文是我對陶哲軒6.4節的抽象或歸納。本文指出，上下極限、極限、極限點的定義的根源是數學家們爲了描述三種不同序列的特徵而引入的定義。關於上下極限、極限、極限點的相關定理都完全由這三種不同序列的定義直接並顯然的導出。
本文編寫於2019.7.12，14日精讀掌握《陶哲軒實分析》,day5
首先我們給出關於極限點、上下極限、極限的直觀定義
- 極限和極限點概念區別
- 數A e-附着於序列：序列存在一個元素和數A 的距離小於e
- 數A e接近於序列：序列的每個元素和數A的距離小於e
- 數A持續e-附着於序列：序列的末尾 總有一個元素和數A的距離小於e
- 數A 最終接近於序列：序列末尾的每個元素都和數A的距離小於e
- 序列有極限點L：序列的末尾總有一個元素和數L無限接近
- 序列有極限L：序列的末尾 的每個元素都無限接近L
- 序列所有的極限L都是極限點L
- 上極限和下極限
- 上極限的下極限就是序列的末尾的上確界和下確界
上面三種定義事實上是爲了描述以下三種不同特徵的序列而引入的定義
- 【HJ-三大序列】上下極限、極限、極限點定義所對應的特殊序列
- 柯西序列（大禹永遠躺在牀上序列）：【最終穩定不動的振子-極限】當振子的位移最終會趨向於一個定值（即振子不再振動），使用柯西序列、極限、e最終接近性去描述這種振子的性質就足夠了
- 大禹每次回家鄉比回家看看序列：【振子的運動不穩定，但是永遠不會忘記觸碰一個它心愛的點-極限點】，這就需要引入極限點的概念
- 第一種情況是第二種情況的特例----------------極限顯然是一個極限點
- 大禹永遠出不了家門序列：【當振子的位移最終有一個上界（隔板擋着它）-上極限】，振子最終的運動無法超過隔板（就這麼一個限制），就需要使用上極限去描述這種情況。
- （振子永遠都不會忘記時不時的去碰一下那個擋着它的隔板，因此第二種情況是第三種情況的特例）--------- 上極限是序列的最大極限點（習題6.4.8）
6.4節的本質在於描述hj-三大序列的各自的特徵，本節的所有性質定理都是基於Hj-三大序列的定義而來的簡單推論。