先進人工智能課程複習筆記Ⅳ--不確定性推理

不確定性推理

重點：可信度方法、模糊推理

• 基本概念

• 概率方法

• 主觀Bayes方法

• 可信度方法

• 模糊理論

• 簡單模糊推理

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【定義】：從不確定性的初始證據E出發，用不確定性的知識，推出一定程度上不確定的結論。即後面可信度方法中的，已知證據的可信度CF(E)，通過知識的可信度CF(E,H)，計算出結論的可信度CF(H)。

不確定性推理一般需要考慮的問題

1.【如何表示】：

• 知識不確定性：由領域專家給出的一個數值表示，稱爲靜態強度
• 證據不確定性：也是一個數值，稱爲動態強度

2.【不確定性的匹配&閾值的選擇】：

• 設計不確定性匹配算法
• 指定一個匹配閾值

3.【組合證據不確定性計算】：

由多條證據組合起來纔可以得到結論時，需要對證據進行合成。

形如：IF $E_1$ AND $E_2$ THEN H 或者 IF $E_1$ OR $E_2$ THEN H

• 最大最小法：

  T( $E_1$ AND $E_2$ ) = min($T(E_1),T(E_2)$)

  T( $E_1$ OR $E_2$ ) = max($T(E_1),T(E_2)$)

• 概率法：

  T( $E_1$ AND $E_2$ ) = $T(E_1)\times{T(E_2)}$)

  T( $E_1$ OR $E_2$ ) = $T(E_1)+T(E_2)-T(E_1)\times{T(E_2)}$

• 有界法：

  T( $E_1$ AND $E_2$ ) = $max\{0,T(E_1)+T(E_2)-1\}$)

  T( $E_1$ OR $E_2$ ) = $min\{1,T(E_1)+T(E_2)\}$

• 注：該條是後加的，第一次看的時候覺得沒什麼用處，也沒理解。T(E)可以表示證據爲真的程度（動態強度），例如後面介紹的可信度方法中，就使用了最大最小法求解證據合成之後的可信度：CF( $E_1$ AND $E_2$)或者CF( $E_1$ OR $E_2$)

4.【不確定性的傳遞算法】

• 通過不確定性的證據和知識，計算結論的不確定性。

5.【結論不確定性的合成】

• 用不同知識進行推理得到相同的結論，每一條知識對應結論的不確定不同，需要一個合適的算法對結論的不確定性進行合成。

• 舉例說明：

  R1=IF E1 THEN H（CF(H)=0.8）

  R2=IF E2 THEN H（CF(H)=0.3）

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不確定性推理有很多種分類，此處主要討論的是基於概率的方法，包括可信度方法和主觀Bayes方法。

【不確定性的計算】：

經典概率方法：規則：IF E THEN H，條件概率P(H|E)可作爲規則的靜態強度。

先驗概率：P(H) 後驗概率：P(H|E)

貝葉斯公式：$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)},其中P(E)=\sum{P(E|H_i)P(H_i)}$

$P(H|E_1,E_2)=\frac{P(E_1|H)P(E_2|H)P(H)}{P(E)},其中P(E_1E_2)=\sum{P(E_1|H_i)P(E_2|H_i)P(H_i)}$

由於概率推理方法存在一些現實侷限，所以主觀貝葉斯方法表示知識：IF E THEN (LS,LN) H。

【不確定性的更新】：

【不確定性的合成】：

【主觀貝葉斯公式】$IF.E.THEN.(LS,LN) H(P(H))$

$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}$

$P(notH|E)=\frac{P(E|notH)P(notH)}{P(E)}$

LS是充分性度量：$LS=\frac{P(E|H)}{P(E|notH)}$，指出E對H的支持程度

LN是必要性度量：$LN=\frac{P(notE|H)}{P(notE|notH)}$

$\Theta(H|notE)=\frac{P(H|notE)}{P(notH|notE)}$

【該分界線內的應該不考/(ㄒoㄒ)/~~】

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可信度的計算

【可信度】：根據經驗對一個事物和現象爲真的相信程度。

• 在可信度方法中，由專家給出規則或知識的可信度，從而避免求先驗概率或條件概率。即CF(H,E)該數值是給定的

• CF模型：IF E THEN H (CF(H,E))，其中，可信度因子/規則強度：CF(H,E)$\in[-1,1]$

• CF(H,E)>0 則P(H|E)>P(H); CF(H,E)<0 則P(H|E)<P(H);CF(H,E)=0 則P(H|E)=P(H)可以理解爲：在證據的條件下，結論發生的概率比結論本身發生的概率要大，說明這條規則/知識是有一定可信度的；反之，如果在證據的條件下，概率變小了，說明這一條知識不可信，所以可信度是負的。

• CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)，其中MB,MD分別表示證據對結論有利和無利的一面，稱爲信任/不信任增長度。

• 定義:

  $MB(H,E)=\begin{cases}1,P(H)=1 \\ \frac{max(P(H|E),P(H))-P(H)}{1-P(H)},否則\end{cases}$

  $MD(H,E)=\begin{cases}1,P(H)=0 \\ \frac{min(P(H|E),P(H))-P(H)}{-P(H)},否則\end{cases}$

  $CF(H,E)=\begin{cases}MB(H,E)-0=\frac{P(H|E)-P(H)}{1-P(H)},P(H|E)>P(H) \\ 0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad,P(H|E)=P(H) \\0-MD(H,E)=\frac{P(H)-P(H|E)}{P(H)},P(H|E)<P(H)\end{cases}$

※ 關於CF(H,E)的具體計算應該不需要學的太細，畢竟CF(H,E)是專家給定的數值，題目中會給定的。

【組合證據的不確定性】

• 可採用最大最小法
  若E=E1 AND E2 AND…AND En,則CF(E)=min{CF(E1),CF(E2),…,CF(En)}
  若E=E1 OR E2 OR…OR En,則CF(E)=max{CF(E1),CF(E2),…,CF(En)}

【證據的不確定性】用可信度因子表示，動態強度：CF(E)>0：某種程度上證據爲真；CF(E)<0：某種程度上證據爲假。

【結論H的可信度-不確定性的傳遞算法】$CF(H)=CF(H，E)\times{max\{0,CF(E)\}}，CF(H)\in[-1,1]$

【結論不確定性的合成算法】同一個結論可以有多條不同的知識推出來。

【結論H的綜合可信度】：

1. 對每一條知識求$CF_i(H)$

2. 求$CF_{12}(H)=\begin{cases}CF_1(H)+CF_2(H)-CF_1(H)×CF_2(H),both>=0 \\CF_1(H)+CF_2(H)+CF_1(H)×CF_2(H) ,both<0\\\frac{CF_1(H)+CF_2(H)}{1-min{|CF_1(H)|,|CF_2(H)|}},二者異號\end{cases}$

3. 必考題

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以上區域內是可信度方法中的通用模型，下面學習幾個特殊的，含(知識的)閾值的和(證據的)加權的：

【帶有閾值限度的不確定性推理】CF(H,E),$\lambda$

當CF(E)>=λ時，知識才可以被應用，CF(H)=CF(H,E)×CF(E)；在通用模型中相當於$\lambda=0$，也就是CF(E)>0的纔會被採用，CF(E)<0時就會被捨棄。

【結論不確定性的合成算法】

1. 當n條規則/知識都滿足$CF(E_i)>=\lambda,i=1,2,...,n$時，計算$CF_i(H)$
2. 求綜合可信度
   • 極大值法：$CF(H)=max\{CF_1(H),CF_2(H),...,CF_n(H)\}$
   • 加權求和法：$CF(H)=\frac{1}{\sum{CF(H,E_i)}}\sum\{CF(H,E_i)×CF(E_i)\}$
   • 有限和法：$CF(H)=min{(\sum{CF_i(H)},1)}$
   • 遞推法：$C_1=CF(H,E_1)×CF(E_1),C_k=C_{k-1}+(1-C_{k-1})×CF(H,E_k)×CF(E_k)$

【加權的不確定性推理】

知識表示：IF $E_1(\omega_1)ANDE_2(\omega_2)AND...ANDE_n(\omega_n)$ THEN H $(CF(H,E),\lambda)$

其中，$\omega_i\in[0,1]$是加權因子，$\lambda$是閾值，都由專家給出。$\sum{\omega_i}=1$

組合證據的可信度：$CF(E)=\frac{1}{\sum{\omega_i}}\sum{(\omega_i×CF(E_i))}$

【前提條件中帶有可信度因子的不確定性推理】