1.基礎概念
繼續總結——數理方程第二章之分離變量法
1.1 三類典型方程
弦振動方程
熱傳導方程
拉普拉斯方程
1.2 基本概念
線性偏微分方程： 方程關於未知數及其各階偏導數均是一次的。
古典解： 具有偏微分方程中各階連續偏導數，且代入方程後能使方程成爲恆等式的函數。
定解問題：泛定方程和定解條件
- 初值/柯西問題：泛定方程和初始條件
- 邊值問題：泛定方程和邊界條件
- 混合問題：泛定方程和初始條件、邊界條件
兩類邊值問題 - 第一類邊值問題/狄利克雷問題/狄氏問題：函數本身在邊界上滿足某條件。
- 第一類邊值問題/諾伊曼問題：函數方向導數在邊界上滿足某條件。
疊加原理： 解的疊加還是解。
兩個自變量二階微分方程的分類
對三類典型方程的理解
2. 分離變量法
分離變量法的思路是把未知的多元函數分解成若干個一元函數的乘積，這樣就可以把偏微分方程轉化成若干個常微分方程的問題。
而一個多元函數是否能分解成若干一元函數的乘積，需要考慮其物理模型：
- 弦振動中，由振動而發出的聲音可以分解成不同頻率的單音，每種單音振動時形成正弦曲線，振幅依賴於時間t。
2.1 有界弦的自由振動
齊次
此時得到兩個常微分方程：
此時結合邊界條件，可以得到一個常微分方程的邊值問題，即：
固有值（特徵值）、固有函數（特徵函數）、施圖姆-劉維爾問題
至此得到關於變量λ的常微分方程的邊值問題被稱爲固有值問題，在前面求解弦振動方程和熱傳導方程時我們已經見識過了。在此做一些更詳細的討論。
施圖姆-劉維爾方程
施圖姆-劉維爾問題
關於固有值與固有函數的結論
2.7 小結
- 對於一維波動方程和熱傳導方程的定解問題，基本上是以下三種情況：
a. 當方程與邊值條件均爲齊次時，直接用分離變量法求解。
b. 當邊界條件爲齊次，方程和初值條件爲非齊次時，原定解問題可以分解成兩個，一是方程非齊次，定解條件齊次，用固有函數法求解；二是方程齊次，定解條件非齊次，用分離變量法求解。
c. 當邊界條件爲非齊次的時候，則需要引入輔助函數來把邊界條件化成齊次的，然後應用上述方法。 - 對於二維拉普拉斯方程的邊值問題，應根據求解區域的形狀適當地選擇座標系，以便於求解。應當注意的是，只有當求解區域很規則時，纔可以應用分離變量法求解拉普拉斯的邊值問題。
未來的你，一定會感謝現在拼命的自己