LeetCode每日一題打卡✔️
今天出了這道題，我來試着寫題解✋
題目
題目來源：LeetCode困難題 887. 雞蛋掉落🥚🐣
題目描述
你將獲得 K 個雞蛋，並可以使用一棟從 1 到 N 共有 N 層樓的建築。
每個蛋的功能都是一樣的，如果一個蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在樓層 F ，滿足 0 <= F <= N 任何從高於 F 的樓層落下的雞蛋都會碎，從 F 樓層或比它低的樓層落下的雞蛋都不會破。
每次移動，你可以取一個雞蛋（如果你有完整的雞蛋）並把它從任一樓層 X 扔下（滿足 1 <= X <= N）。
你的目標是確切地知道 F 的值是多少。
無論 F 的初始值如何，你確定 F 的值的最小移動次數是多少？
示例 1：
輸入：K = 1, N = 2 輸出：2
解釋： 雞蛋從 1 樓掉落。如果它碎了，我們肯定知道 F = 0 。 否則，雞蛋從 2 樓掉落。如果它碎了，我們肯定知道 F = 1 。 如果它沒碎，那麼我們肯定知道 F = 2 。 因此，在最壞的情況下我們需要移動 2次以確定 F 是多少。示例 2：
輸入：K = 2, N = 6 輸出：3
示例 3：
輸入：K = 3, N = 14 輸出：4
提示：
1 <= K <= 100 1 <= N <= 10000來源：力扣（LeetCode） 鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop
著作權歸領釦網絡所有。商業轉載請聯繫官方授權，非商業轉載請註明出處。
題目真不科學，你的雞蛋質量也忒好了，是鐵蛋吧😂
這是Google以前的經典動態規劃面試題。
另外，b站李永樂老師也有講解，能幫助理解題意，而且最後老師把狀態轉移方程給出來了。視頻中他從雙蛋問題🥚🥚擴展到本題目K個蛋🥚。可以看看：
參考視頻
b站李永樂老師講解視頻：《復工復產找工作？先來看看這道面試題：雙蛋問題》
視頻中最終的板書截圖：
雖然李永樂老師的視頻裏已經把公式給出來了，我下面再用個人理解結合着官方題解，用文字重複解釋一次，順帶補充。
一般解題思路：DP+二分查找
不用動態規劃行不行？答：在OJ上是不行，暴力解法因爲重複計算多，時間複雜度高，判題會Time Limit Error。
那麼我們怎麼優化呢？請往下看。
做出這道題的關鍵，是解題思路中dp公式的推導，想要熟練掌握的話需要一些刷題經驗。知道了原理之後，實現起來並不難。
沿用題目的定義，K 爲雞蛋數，N 爲樓層數，我們用dp(K,N)表示在狀態 (K,N)下最少需要的步數，當我們從第 X 樓扔蛋的時候，把題目分解爲了蛋碎和不碎的子問題：
- 狀態 (K−1,X−1)，雞蛋碎了一個，樓層數減少到X-1。
- 狀態(K,N−X)，雞蛋不碎，雞蛋的數目不變（注意：不碎的雞蛋是可以重複用的），F 在上方的 N−X 層樓
我們的狀態轉移方程要保證雞蛋碎了之後接下來需要的步數 和 雞蛋沒碎之後接下來需要的步數 二者的 最大值 最小。
我們狀態轉移方程就出來了，別忘了我們一開始扔過一次，所以公式裏要有+1。
（我不熟悉markdown和LaTeX寫公式，也覺得麻煩，直接把官方題解的公式截圖了）
僞代碼
僞代碼實現時候是這樣的：
public int superEggDrop(int K, int N) {
終止條件：N=0 N=1 返回
讀取已有狀態值
查找交點兩側的值low和high
//狀態轉移方程
//別忘了我們一開始扔過一次，所以公式裏要有+1
//Math.min()裏這是求了交點兩邊的值，取兩者中最小的
int min = 1 + Math.min(
Math.max(superEggDrop(K - 1, low - 1), superEggDrop(K, N - low)),
Math.max(superEggDrop(K - 1, high - 1), superEggDrop(K, N - high))
);
狀態值放到緩存
返回狀態值;
}
知道了dp方程，也不能直接暴力查找，會超時的。
我們可以列一個K與N表格幫助我們理解。（懶得畫圖了，不難理解）。
上述的狀態轉移方程中，dp(K−1,X−1) 是一個隨 X 的增加而單調遞增的函數，dp(K,N−X) 是一個隨着 X 的增加而單調遞減的函數，兩者相交形成一個叉叉，❌。（懶得畫圖了，不難理解）。
我們爲了找到它們的交點，使用二分查找（比線性搜索更快）可以快速尋找到這個交點。
兩個函數都是離散函數，所以我們需要交點左右兩側最近的整數中最小的 。
基礎解法，分析完畢。
上代碼：
class Solution {
Map<Integer, Integer> cache = new HashMap<>();
public int superEggDrop(int K, int N) {
if (N == 0) {
return 0;
} else if (K == 1) {
return N;
}
//key標識狀態(N,K)，如果是計算過的可以直接返回
Integer key = N * 1000 + K; // K <= 100
if (cache.containsKey(key))
return cache.get(key);
int low = 1, high = N;
//while()裏是二分查找
while (low + 1 < high) {
int mid = (low + high) / 2;
int t1 = superEggDrop(K - 1, mid - 1);
int t2 = superEggDrop(K, N - mid);
if (t1 < t2) {
low = mid;
} else if (t1 > t2) {
high = mid;
} else {
low = high = mid;
}
}
//狀態轉移方程
//別忘了我們一開始扔過一次，所以公式裏要有+1
//Math.min()裏這是求了交點兩邊的值，取兩者中最小的
int min = 1 + Math.min(
Math.max(superEggDrop(K - 1, low - 1), superEggDrop(K, N - low)),
Math.max(superEggDrop(K - 1, high - 1), superEggDrop(K, N - high))
);
cache.put(key, min);
return cache.get(key);
}
}
複雜度分析
時間複雜度：O(K∗NlogN)。O(K∗N) 個狀態，每個狀態 O(logN) 的時間進行二分搜索。
空間複雜度：O(K∗N)。我們需要 O(K∗N) 的空間存儲每個狀態的解。
其他更高級的解法
此外，有更加高級的解法：
方法二 決策單調性（空間複雜度更小）
方法三 數學法（逆向思維，不容易想到，思路是，若你有 K 個雞蛋，你最多操作 R 次，求 N 最大值。此方式的代碼極簡,一維DP就完事了。dp[k][r] = dp[k][r-1] + dp[k-1][r-1] + 1，第 R 次操作結果只和第 R-1 次操作結果相關，因此可以只用一維數組）
看了逆向思維法，你會覺得之前的代碼不香了😭。
有興趣請自行查看官方題解和其它題解，鏈接附在下面參考資料章節。
參考資料：
[1]LeetCode 887. 雞蛋掉落https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/
[2]b站李永樂老師講解視頻：《復工復產找工作？先來看看這道面試題：雙蛋問題》https://www.bilibili.com/video/BV1KE41137PK?from=search&seid=12396330197330656928
[3]LeetCode 887. 雞蛋掉落官方題解https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/solution/ji-dan-diao-luo-by-leetcode-solution/
[4]《雞蛋掉落，即鷹蛋問題，圖片詳解，Java擊敗100.00%》作者：wat-2https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/solution/zhi-xing-yong-shi-0-ms-zai-suo-you-java-ti-jia-121/
修改記錄
2020年4月12日10:26:22
- 標題由《Google經典動態規劃面試題–LeetCode困難題 887. 雞蛋掉落》改爲《動態規劃——LeetCode困難題 887.
雞蛋掉落》 - 修改了一些不通順的句子
- 參考資料顯示了鏈接網址
小聲嗶嗶
水平有限，自己得多多練習，還望各位不吝賜教 ☕️
這次文章試着加了點emoji表情😅，希望能讓文章讀起來更舒服點。使用PC網頁閱讀時候的emoji更好看一些。
覺得有用可以點個贊❤️，謝謝