LeetCode每日一题打卡✔️
今天出了这道题，我来试着写题解✋
题目
题目来源：LeetCode困难题 887. 鸡蛋掉落🥚🐣
题目描述
你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？
示例 1：
输入：K = 1, N = 2 输出：2
解释： 鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。 否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。 如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。 因此，在最坏的情况下我们需要移动 2次以确定 F 是多少。示例 2：
输入：K = 2, N = 6 输出：3
示例 3：
输入：K = 3, N = 14 输出：4
提示：
1 <= K <= 100 1 <= N <= 10000来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
题目真不科学，你的鸡蛋质量也忒好了，是铁蛋吧😂
这是Google以前的经典动态规划面试题。
另外，b站李永乐老师也有讲解，能帮助理解题意，而且最后老师把状态转移方程给出来了。视频中他从双蛋问题🥚🥚扩展到本题目K个蛋🥚。可以看看：
参考视频
b站李永乐老师讲解视频：《复工复产找工作？先来看看这道面试题：双蛋问题》
视频中最终的板书截图：
虽然李永乐老师的视频里已经把公式给出来了，我下面再用个人理解结合着官方题解，用文字重复解释一次，顺带补充。
一般解题思路：DP+二分查找
不用动态规划行不行？答：在OJ上是不行，暴力解法因为重复计算多，时间复杂度高，判题会Time Limit Error。
那么我们怎么优化呢？请往下看。
做出这道题的关键，是解题思路中dp公式的推导，想要熟练掌握的话需要一些刷题经验。知道了原理之后，实现起来并不难。
沿用题目的定义，K 为鸡蛋数，N 为楼层数，我们用dp(K,N)表示在状态 (K,N)下最少需要的步数，当我们从第 X 楼扔蛋的时候，把题目分解为了蛋碎和不碎的子问题：
- 状态 (K−1,X−1)，鸡蛋碎了一个，楼层数减少到X-1。
- 状态(K,N−X)，鸡蛋不碎，鸡蛋的数目不变（注意：不碎的鸡蛋是可以重复用的），F 在上方的 N−X 层楼
我们的状态转移方程要保证鸡蛋碎了之后接下来需要的步数 和 鸡蛋没碎之后接下来需要的步数 二者的 最大值 最小。
我们状态转移方程就出来了，别忘了我们一开始扔过一次，所以公式里要有+1。
（我不熟悉markdown和LaTeX写公式，也觉得麻烦，直接把官方题解的公式截图了）
伪代码
伪代码实现时候是这样的：
public int superEggDrop(int K, int N) {
终止条件：N=0 N=1 返回
读取已有状态值
查找交点两侧的值low和high
//状态转移方程
//别忘了我们一开始扔过一次，所以公式里要有+1
//Math.min()里这是求了交点两边的值，取两者中最小的
int min = 1 + Math.min(
Math.max(superEggDrop(K - 1, low - 1), superEggDrop(K, N - low)),
Math.max(superEggDrop(K - 1, high - 1), superEggDrop(K, N - high))
);
状态值放到缓存
返回状态值;
}
知道了dp方程，也不能直接暴力查找，会超时的。
我们可以列一个K与N表格帮助我们理解。（懒得画图了，不难理解）。
上述的状态转移方程中，dp(K−1,X−1) 是一个随 X 的增加而单调递增的函数，dp(K,N−X) 是一个随着 X 的增加而单调递减的函数，两者相交形成一个叉叉，❌。（懒得画图了，不难理解）。
我们为了找到它们的交点，使用二分查找（比线性搜索更快）可以快速寻找到这个交点。
两个函数都是离散函数，所以我们需要交点左右两侧最近的整数中最小的 。
基础解法，分析完毕。
上代码：
class Solution {
Map<Integer, Integer> cache = new HashMap<>();
public int superEggDrop(int K, int N) {
if (N == 0) {
return 0;
} else if (K == 1) {
return N;
}
//key标识状态(N,K)，如果是计算过的可以直接返回
Integer key = N * 1000 + K; // K <= 100
if (cache.containsKey(key))
return cache.get(key);
int low = 1, high = N;
//while()里是二分查找
while (low + 1 < high) {
int mid = (low + high) / 2;
int t1 = superEggDrop(K - 1, mid - 1);
int t2 = superEggDrop(K, N - mid);
if (t1 < t2) {
low = mid;
} else if (t1 > t2) {
high = mid;
} else {
low = high = mid;
}
}
//状态转移方程
//别忘了我们一开始扔过一次，所以公式里要有+1
//Math.min()里这是求了交点两边的值，取两者中最小的
int min = 1 + Math.min(
Math.max(superEggDrop(K - 1, low - 1), superEggDrop(K, N - low)),
Math.max(superEggDrop(K - 1, high - 1), superEggDrop(K, N - high))
);
cache.put(key, min);
return cache.get(key);
}
}
复杂度分析
时间复杂度：O(K∗NlogN)。O(K∗N) 个状态，每个状态 O(logN) 的时间进行二分搜索。
空间复杂度：O(K∗N)。我们需要 O(K∗N) 的空间存储每个状态的解。
其他更高级的解法
此外，有更加高级的解法：
方法二 决策单调性（空间复杂度更小）
方法三 数学法（逆向思维，不容易想到，思路是，若你有 K 个鸡蛋，你最多操作 R 次，求 N 最大值。此方式的代码极简,一维DP就完事了。dp[k][r] = dp[k][r-1] + dp[k-1][r-1] + 1，第 R 次操作结果只和第 R-1 次操作结果相关，因此可以只用一维数组）
看了逆向思维法，你会觉得之前的代码不香了😭。
有兴趣请自行查看官方题解和其它题解，链接附在下面参考资料章节。
参考资料：
[1]LeetCode 887. 鸡蛋掉落https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/
[2]b站李永乐老师讲解视频：《复工复产找工作？先来看看这道面试题：双蛋问题》https://www.bilibili.com/video/BV1KE41137PK?from=search&seid=12396330197330656928
[3]LeetCode 887. 鸡蛋掉落官方题解https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/solution/ji-dan-diao-luo-by-leetcode-solution/
[4]《鸡蛋掉落，即鹰蛋问题，图片详解，Java击败100.00%》作者：wat-2https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/solution/zhi-xing-yong-shi-0-ms-zai-suo-you-java-ti-jia-121/
修改记录
2020年4月12日10:26:22
- 标题由《Google经典动态规划面试题–LeetCode困难题 887. 鸡蛋掉落》改为《动态规划——LeetCode困难题 887.
鸡蛋掉落》 - 修改了一些不通顺的句子
- 参考资料显示了链接网址
小声哔哔
水平有限，自己得多多练习，还望各位不吝赐教 ☕️
这次文章试着加了点emoji表情😅，希望能让文章读起来更舒服点。使用PC网页阅读时候的emoji更好看一些。
觉得有用可以点个赞❤️，谢谢