数学不是逻辑

    数学（mathematics或maths，其英文来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

    而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

    逻辑（logic）源自古典希腊语（logos），最初的意思是“词语”或“言语”，（引申出意思“思维”或“推理”），指的是思维的规律和规则。

    狭义上逻辑既指思维的规律，也指研究思维规律的学科即逻辑学。广义上逻辑泛指规律，包括思维规律和客观规律。

    逻辑包括形式逻辑与辩证逻辑，形式逻辑包括归纳逻辑与演绎逻辑，辩证逻辑包括矛盾逻辑与对称逻辑。对称逻辑是人的整体思维（包括抽象思维与具象思维）的逻辑。

有人说：数学=逻辑+公理

数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。

数学与逻辑的区别？

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  相信大家都听说过这些词语，数学证明、逻辑证明、实验证明、实践证明、法律证明。很明显，它们是几种不同的证明方法。那么，数学证明和逻辑证明有什么不同呢？

     逻辑是一种论证和证明的方法。怎么进行论证和证明呢？就是“从普遍推进到个别的”，也就是三段论：从大前提、小前提推出结论。这些都是亚里士多德的《工具论》里面的原话。

    亚里士多德还明确说过，几何学所使用的推理方法跟论辩和辩证使用的推理似乎不同。

    这个不同表现在哪里呢？逻辑论证是从大前提出发，也就是从一个前提出发，一层一层推理出各种各样的结论。

     比如亚里士多德的《物理学》，就是用三段论逻辑来论证的，也就是从“地球是宇宙的中心，地球是不动的”这个前提出发，来解释宇宙万物为什么会运动和变化。

   由于地球是不动的，又是宇宙的中心，那就必须有一个最初推动者，通过密布于空中的看不见、摸不着的以太，把力一层一层传递给了各个物体，于是才有了云彩漂移、雨点落下来、弓箭射出去、抛石机抛掷出石弹、手扔出去石子。

   如果没有以太这种看不见、摸不着的物质，那么力就无法传递，也就不会有各种各样的运动和变化。

   这就有点像多米诺骨牌，没有第一个推动者，那就不会出现连环的倒塌。倒塌本身就是一种运动和变化。

    从地球是不动的，地球是宇宙的中心这个前提出发，还解释了太阳和月亮为什么绕着地球飞行；重的物体为什么往下落，轻的物体为什么向上飞；苹果和植物为什么会腐烂。

    也得到了很多结论，比如重的物体比轻的物体先落地。

   总之，亚里士多德的《物理学》是逻辑论证和纯粹思辨的物理学，既不用数学，也不做实验。如果他做实验，那就会发现“重的物体比轻的物体先落地”这个结论是站不住脚的。

数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础？

吴  军

你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。

我们在课程中多次讲到，数学结论的正确性，取决于公理的正确性，以及逻辑的严密性，因此数学和逻辑是密不可分的，特别是像欧几里得几何这种数学体系，完全依赖于逻辑。但是，数学和逻辑又是完全独立的两门学问，不能混为一谈。

一般认为，逻辑是人类理性的体现，它的基本原理其实都是大白话，但是仔细琢磨起来很有道理，更关键的是，只有少数人能够坚持那些看似大白话的基本原理。因此，我们就从逻辑学的基本原理，以及和数学的关系讲起。

• 同一律：苹果就是苹果，不是橘子

首先要说的是同一律，它通常的表述是，一个事物只能是其本身。这句大白话背后的含义是，世界上任何一个个体都是独一无二的。注意这里说的是个体，不是群体。一个事物只能是其本身，而不能是其他什么事物。苹果就是苹果，不会是橘子或者香蕉。

因为有同一律，我们才可以识别出每一个个体，这在数学上可以用A=A这样的公式表示，而且当一个个体从一个地方移到另一个地方去之后，它就不会在原来的地方，而会出现在新的地方。

比如我们有一个等式X+5=7，当我们把5从等式的左边移到右边去之后，就变成了X=7-5，等式的左边只有X，不可能再有5这个数字了。

很多孩子解方程，把数字从一边移到另一边的同时，忘记了把原来的数字消去，最后题做错了，自己还有家长只是觉得粗心了而已。其实在每一次粗心的背后，都有概念不熟悉的深层次原因。具体到这个问题，就是根本不理解同一律。

同一律在集合论中特别重要，集合中的所有元素必须都是独一无二的。比如我们说整数的集合，里面只能有一个3，不能有两个，如果有两个，就出错了，这一点很容易理解。但是，在生活中，很多人自觉不自觉地在违反同一律，一个最典型的情况就是偷换概念，具体讲就是把不同含义的概念使用了同一个名称，达到瞒天过海的目的。

人有些时候偷换概念是不自觉的，比如很多词的含义有二义性，他搞不清楚，造成了自己头脑的混乱，或者把一个个体和一个集合等价起来，以偏概全。比如有些人会讲，股市都是骗局，他们的经验是来自一部分股票，是个体，但是讲这句话的时候，就把股票换成了集合，也就是股市。

自己不懂的逻辑，头脑不清，讲出的话违反了同一律后，就会造成别人的误解，甚至自己也会被绕进去，很多人缺乏好的沟通能力，可以溯源到讲话经常违反同一律上。

另一方面，也有人是故意违反同一律，比如悄悄改变某个概念的内涵和外延，把它变成了另外一个概念，或者将似是而非的概念混在一起讲。比如商家常常用“限量版”这个词对外宣传，让人感觉数量非常有限。其实世界上任何商品的数量都是有限的，只是多和少而已。

很多商品，并没有限量版一说，但其实数量比同类的限量版要少很多。比如说施坦威钢琴一年一共生产2000台左右，大型的Model D只有上百台，但是施坦威从来不说限量版。相反，日本限量版的钢琴数量常常比施坦威相应型号的总数量多很多了，但是一说限量版，大家就有高大上的感觉，这其实是偷换了限量版这个概念的外延。

再举一个例子，你会发现美国的左派和右派都在喊平等，但是总是在吵架，因为他们一个说的是结果平等，一个说的是机会平等，这是因为把很多相混淆的概念装进了一个名词中，违反了同一律。

在数学上，要严格遵守同一律。为了防止出现违反同一律的情况，就需要把概念定义得极为精确，在法律上也是如此。在生活中，我和别人沟通时，我常常会用我的语言复述一下对方的话，明确我们是在讨论同一件事情，这一点很重要。很多时候，我们和别人沟通中的误解，就来源于忽视了同一律。

• 矛盾律：不可能既是A又不是A
  

接下来要说的是矛盾律。它通常的表述是：在某个事物的某一个方面（在同一时刻），不可能既是A又不是A。我们前面介绍的数学中的反证法，就是基于矛盾律。

矛盾律“contradiction”一词是由两个词根组合而成的，前一个词根“contra”是“相反”的意思，第二个词根“dicti”是“讲话”的意思，顾名思义，它就是指讲话的意思相对立。

也有人把矛盾律看作是同一律的延伸，因为“是A”和“不是A”是两个不同的个体，自然不可能相同。我之所以强调事物的某一个方面，因为事物本身可能是多方面的，不同方面可能有不同的表现。比如在前面的课程中，有同学问，光的波粒二象性是否违反矛盾律？这其实不违反，因为它讲的是一个事物的不同方面。

类似的，有人会讲，我人在某处，心却在你身边，这也不违反矛盾律。但是，如果说，某时某刻，我人在北京，人又不在北京，这就违反了矛盾律。在办案中，我们说的不在场证据，之所以能成立，是因为有矛盾律作保证。

在数学和自然科学中，很多重大的发现都是源于矛盾律的使用。比如在前面提到的毕达哥拉斯定理和无理数的内容中，这个定理和有理数性质的矛盾，就导致了无理数的被发现。在物理学上，麦克斯韦方程组和经典力学方程的矛盾，就导致了后来相对论的提出。

在生活中，有人会挑战矛盾律，比如有人说：“我是一个矛盾的人，既慷慨大方，又斤斤计较。对于教育我总是慷慨解囊，对自己的生活非常节省。”这种说法看似没有违反矛盾律，其实已经违反了前面讲的同一律，因为偷换了概念。

为了防止大家在使用矛盾律时偷换概念，逻辑学家们一般强调四个“同一”，即同一时间、同一方面、同一属性、同一对象，总之强调的是独一无二的事件。

• 排中律：“是非”明确
  

最后，我们来说说排中律，它通常的表述是，任何事物在明确的条件下，都要有明确的“是”或“非”的判断，不存在中间状态。

比如在数学上，一个数字，要么大于零，要么不大于零，没有中间状态。有人可能会说，等于零不就是中间状态么？其实大于零的反面并非小于零，而是不大于零或者说小于等于零，因此等于零的情况其实就是不大于零的一种。

排中律保证了数学的明确性，通常我们在数学上使用排中律原则最多的时候，就是在所谓的排除法或者枚举法中。当我们排除了一种情况时，和它相反的情况就一定会发生。如果有多于两种对立的情况，我们可以先把所有可能的情况二分，然后再不断二分，直到每一个彼此不重复的情况为止。

在计算机科学中，任何和二分相关的算法，其逻辑基础都是排中律。在这种思路的指导下，1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯借助电子计算机，证明了四色（地图）定理。这是图论中一个非常著名的难题，它说的是在任何地图上，只要用四种颜色就能够给所有的国家（或者地域）染色，保证相邻的地域颜色不同。

这个问题的难度在于情况太多、太复杂，因此数学家们努力了100多年也没有结果。阿佩尔和哈肯的高明之处在于，他们用计算机穷举了所有的情况，然后借助计算机一一证明了各种情况。而这种证明方法的正确性，是靠排中律保障的。

讲到排中律，就不得不讲西方人和东方人在思维上的一种差异。在美国的大学和研究生升学考试SAT和GRE中，都要写作文，作文题目通常是就一个观点发表赞同或者反对的意见。

中国学生的思维方式，常常是“既要……又要……”，比如让他分析是否要禁烟草，他会说：“因为吸烟对人体有害，因此我赞成禁烟，但是来自烟草的税收在国家的总税收里占很大的比例，所以，也不赞成完全禁烟。”

这种作文或许在中国的高考中能得到不错的分数，但是在SAT和GRE的考试中，都会是不及格的分数，因为它首先违反了排中律。这不是文学写作水平的问题，是逻辑上的问题。

通常，稍微有一点逻辑的人在讲话时，会注意不违反排中律。但是不少人在不注意的时候，还是会被人设套。比如一个检察官问犯罪嫌疑人：“你收受的贿赂中有没有奔驰汽车？”这其实就有一个圈套，因为问话包含了一个预设，即对方已经有了收受贿赂的行为。

对此问题，如果简单地回答没有，其实等于变相承认了自己有受贿行为。有经验的辩方律师这时候需要向法官提出抗议，抗议检方这种设有圈套的问法。当然，作为被告方，好的回答是否定对方的大前提，即直接回答，我根本没有接受过贿赂。

• 充分条件律：有果必有因
  

此外，很多逻辑学家也把“充分条件律”和上述三个基本原则等同起来，一同称为逻辑的四个基本原则。所谓“充分条件律”，讲的是任何结论都要有充足的理由，这也就是我们常说的因果原理。任何数学的推理，都离不开充分条件律。

充分条件律成立的原因，在于宇宙中任何事物不能自我解释，或者说不依赖于其它事物而存在。

比如逻辑学家们经常会讲，为什么有我呢？不是天生就有我，而是因为有我的父母存在。再比如说，为什么张三数学成绩好？是因为他聪明，老师好，学校条件好，或者学习努力而且方法好，等等，而不是毫无条件的，天生数学就好。当然，很多时候仅仅一个或几个条件本身还够不成充分条件，需要上述条件都满足才行。

数学正是因为有内在的逻辑性，才避免了可能的自相矛盾之处。

这一讲我想告诉大家的是：人们通常会身陷矛盾而不自知，因为缺乏逻辑性。人们有时也会对某个重要的事物想不清楚，不知道该如何作判断，其实运用逻辑，把事实分析一遍，真相就清楚了。这应该是逻辑学和数学给我们的启发。而学习逻辑很好的方法就是学习好数学。

    由于机是用数学形式化语言描述出来的，而人则是用自然语言或思维语言描述世界的，所以人机融合智能就是自然语言或思维语言+数学语言共同描述的智能形式。数学不是逻辑，数学是一种涉及符号相等与蕴含关系的逻辑表达形式；自然语言或思维语言中包含着逻辑，也存在着许多非逻辑，所以从根本上而言，人机融合智能就是一种逻辑与非逻辑的综合高效表征形式。