三维旋转矩阵 左乘和右乘分析

突然发现自己被旋转矩阵的左乘右乘给搞糊涂了，查了不少博客还是有点晕，这里自己总结一下：
本文所讨论均是基于右手座标系，旋转也是以正方向旋转，如图所示：

左乘： 座标系不动，点动，则左乘。【若绕静座标系（世界座标系）旋转，则左乘，也是变换矩阵乘座标矩阵；】
右乘： 点不动，座标系动，则右乘。【若是绕动座标系旋转（自身建立一个座标系），则右乘，也就是座标矩阵乘变换矩阵】

由于三维旋转可以分解成分别绕三个轴旋转，然后其实就是二维旋转了。为了方便，这里就使用二维旋转举例。
比如绕z轴旋转 theta 角度；
左乘分析如图所示：

而右乘分析：
则是旋转座标系；点逆时针旋转了theta角，其实也就是相当于座标轴也逆时针旋转theta角。如图所示：

设点原座标为$[x,y,z]$，旋转后的座标为$[x',y',z']$, 设左乘旋转矩阵为$R_{left}$,右乘旋转矩阵为$R_{right}$，
则：
$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}={R_{left}}*\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}x'&y'&z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}*{R_{right}}$

观察上面两图计算出来的旋转矩阵还可以得出结论，$R_{left}*{R_{right}} = I$，这意味这这两个矩阵是互为逆。
另外，$R_{left}(\theta) = {R_{right}} (-\theta)$ 。
【可以说，如果一个旋转矩阵左乘表示逆时针旋转 theta 角，那么将此矩阵右乘的话则表示顺时针旋转 theta 角】
左乘与右乘是可以变换的。也即是说：

${R_{left_3}}(\theta)*{R_{left_2}}(\theta)*{R_{left_1}}(\theta)*\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = {R_{right_3}}(-\theta)*{R_{right_2}}(-\theta)*{R_{right_1}}(-\theta)*\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$

不过建议只是用一种方法来计算旋转矩阵，以免混淆。

【如有错误，欢迎各位批评指正。】

参考博客：https://blog.csdn.net/csxiaoshui/article/details/65446125