【推薦算法】PersonRank算法原理●Python實現

PersonRank的原理同PageRank與TextRank算法，其基本原理都是基於隨機遊走而來。

要想從深層次的理解PersonRank這類算法，必須從微觀上觀察數據的具體流向過程，所以這次就把隨機遊走前兩步的過程描述出來，在心裏有個大概的印象。

1. 隨機遊走

下圖描述的是三個用戶$A、B、C$與四件商品$a、b、c、d$之間的關係，連線表示購買記錄，所以邊不設置權重，由圖可以看出

A 購買過： a、c
B 購買過： a、b、c、d
C 購買過： c、d

由於A沒有直接的連線和其他的商品進行聯繫，我們又想給A推薦商品，所以，可以從商品出發，經過其他的用戶，通往其他的商品。

現在我們要爲A推薦商品，實際上就是計算A對所有商品的感興趣程度，由於在PersonRank算法中不區分用戶節點和商品節點，這樣一來問題就轉化成：對節點A來說，節點$A、B、C、a、b、c、d$的重要度各是多少？也就是計算各個節點的$PR$值是多少？

由於隨機遊走需要指定一個起點，從該起點開始遊走，給A推薦商品，則從A開始遊走，假設初始賦予 $PR(A)=1$，其餘各節點的$PR$值爲0。【注：一般PageRank裏假設每個節點的初始值是一樣的，其和爲1】另外，在圖上游走。每次都是從$PR$不爲$0$的節點開始遊走，往前走一步。繼續遊走的概率是α，停留在當前節點的概率是1−α。

此處的α其實就是前面Pagerank裏面提到的阻尼係數$\alpha$，爲了便於理解與計算，假設$α$爲0.5，則：

第一次遊走， 從A節點出發，走一步。

從$A$節點出發的概率爲$0.5$，則到$a$的概率爲$0.5×0.5=0.25$，則到c的概率爲$0.5×0.5=0.25$,這樣a和c就分得了A的部分$PR$值。此時$PR$值變爲：

PR(A) = 0.5
PR(a) = 0.25
PR(c) = 0.25

第二次遊走，分別從節點$A、a、 c$開始，再往前走一步。

首先計算每個節點剩餘的$PR$值：

PR(A)剩餘 = PR(A)發出 = 0.5 × 0.5 = 0.25
PR(a)剩餘 = PR(a)發出 =  0.25 × 0.5 = 0.125
PR(c)剩餘 = PR(c)發出 =  0.25 × 0.5 = 0.125

再計算每個節點得到的新的$PR$值：

PR(A)得到 = 1/3 × PR(c)發出 + 1/2 × PR(a)發出 = 0.0417 + 0.0625 = 0.104
PR(B)得到 = 1/2 × PR(a)發出 + 1/3 × PR(c)發出 = 0.0625 + 0.0417 = 0.104
PR(C)得到 = 1/3 × PR(c)發出 = 0.0417
PR(a)得到 = 1/2 × PR(A)發出 = 0.125
PR(c)得到 = 1/2 × PR(A)發出 = 0.125

每個點最新的$PR$值爲：

PR(A) = 0.25 + 0.104 = 0.354
PR(B) = 0.104
PR(C) = 0.0417
PR(a) = 0.125 + 0.125 = 0.25
PR(c) = 0.125 + 0.125 = 0.25

2. PersonRank公式

從以上兩個步驟，我們可以從微觀上感受到了隨機遊走的實際意義，這也是PersonRank算法的計算過程。
其實，從數學的角度來說，每一次的遊走都是進行了一次矩陣的運算，初始的PR值向量$U_0$，經過多次與轉移概率矩陣M相乘，就會使得PR值向量$U_n$趨於穩定，其公式可以表示爲：

$U = \alpha M^T U_{n-1} + (1-\alpha)U_{n-1}$

由於這個過程會使得起點的$PR$值無法始終維持最大，所以，對式子進行了變化，如下
U₀ = [¹/_n，¹/_n，… ¹/_n]

$U_n = \alpha M^T U_{n-1} + (1-\alpha)U_{0}$

其中$U$爲初始的$PR$值向量，本例子中$U_0$爲[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
通過觀察以上的公式，假如$U_n$趨於穩定的時候，$U_n$應該等於$U_{n-1}$，所以令$U_n=U_{n-1}$，則：

$U_n = \alpha M^T U_n+ (1-\alpha)U_{0}$

所以：

$U_n = \alpha M^T U_n + (1-\alpha)U_{0}$

所以：

$(E-\alpha M^T)U_n =(1-\alpha)U_{0}$

所以：

$U_n =(E-\alpha M^T)^{-1} + (1-\alpha)U_{0}$

所以可以一步求出$U_n$

3. 具體實現

本例子中：
$U_0$爲：
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
$M$爲：

[[0.   , 0.   , 0.   , 0.5  , 0.   , 0.5  , 0.   ],
 [0.   , 0.   , 0.   , 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 ],
 [0.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.5  , 0.5  ],
 [0.5  , 0.5  , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   ],
 [0.   , 1.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   ],
 [0.33 , 0.33 , 0.33 , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   ],
 [0.   , 0.5  , 0.5  , 0.   , 0.   , 0.   , 0.   ] ]

具體計算過程參考以下代碼：
Github鏈接
另外：
SimRank可以參考這位博主的：https://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/4575809.html