Multilayer Perceptron & Classify image

MLP

以多層感知機爲例，概述多層神經網絡

隱藏層

此圖爲多層感知機的神經網絡圖，它含有一個隱藏層，該層中有5個隱藏單元。

表達公式

具體來說，給定一個小批量樣本$\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$，其批量大小爲$n$，輸入個數爲$d$。假設多層感知機只有一個隱藏層【其中隱藏單元個數爲$h$】記隱藏層的輸出（也稱爲隱藏層變量或隱藏變量）爲$\boldsymbol{H}$，有$\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}$。

因爲隱藏層和輸出層均是全連接層，可以設隱藏層的權重參數和偏差參數分別爲$\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}$和 $\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}$，輸出層的權重和偏差參數分別爲$\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}$和$\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}$。

含單隱藏層的多層感知機的設計。其輸出$\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的計算爲

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

也就是將隱藏層的輸出直接作爲輸出層的輸入。如果將以上兩個式子聯立起來，可以得到

$\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.$

存在的問題

• 雖然神經網絡引入了隱藏層，卻依然等價於一個單層神經網絡
• 其中輸出層權重參數爲$\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o$，偏差參數爲$\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o$、

結論：隱藏層未起到作用

激活函數

問題解釋

全連接層只是對數據做仿射變換（affine transformation），而多個仿射變換的疊加仍然是一個仿射變換。

解決方法

引入非線性變換
Example:對隱藏變量使用按元素運算的非線性函數進行變換，然後再作爲下一個全連接層的輸入。
這個非線性函數被稱爲激活函數（activation function）。

• ReLU函數

ReLU（rectified linear unit）函數提供了一個很簡單的非線性變換。給定元素$x$，該函數定義爲

$\text{ReLU}(x) = \max(x, 0).$

可以看出，ReLU函數只保留正數元素，並將負數元素清零。

• Sigmoid函數

sigmoid函數可以將元素的值變換到0和1之間：

$\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.$

• tanh函數

tanh（雙曲正切）函數可以將元素的值變換到-1和1之間：

$\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.$

我們接着繪製tanh函數。當輸入接近0時，tanh函數接近線性變換。雖然該函數的形狀和sigmoid函數的形狀很像，但tanh函數在座標系的原點上對稱。

激活函數的選擇

ReLu函數是一個通用的激活函數，目前在大多數情況下使用。但是，ReLU函數只能在隱藏層中使用。

用於分類器時，sigmoid函數及其組合通常效果更好。由於梯度消失問題，有時要避免使用sigmoid和tanh函數。

在神經網絡層數較多的時候，最好使用ReLu函數，ReLu函數比較簡單計算量少，而sigmoid和tanh函數計算量大很多。

在選擇激活函數的時候可以先選用ReLu函數如果效果不理想可以嘗試其他激活函數。

那麼之前表達式中輸出$\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的計算變爲：

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

其中$\phi$表示激活函數。

多層感知機實現

# import package and module
import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("path to file storge d2lzh1981")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)

獲取數據集

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,
			root='path to FashionMNIST.zip')

定義模型參數

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)

params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
    param.requires_grad_(requires_grad=True)

定義激活函數

def relu(X):
    return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0))
#進行0和Ｘ的大小比較

定義網絡

def net(X):
    X = X.view((-1, num_inputs))
    H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
    return torch.matmul(H, W2) + b2

定義損失函數

loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()

訓練

num_epochs, lr = 5, 100.0
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params, lr)

---

多層感知機Pytorch簡化

import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("path to file storge d2lzh1981")
import d2lzh1981 as d2l

初始化模型參數

# init model and param
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
    
net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), 
        )
    
for params in net.parameters():
    init.normal_(params, mean=0, std=0.01)

訓練

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='path to FashionMNIST.zip')
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)

num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)