數字圖像處理：直方圖均衡推導及實現

推導

岡薩雷斯的書裏給了幾個公式，書中的式3.3-3一直不明白是如何得出的。
$p_s(s)ds=p_r(r)dr$

下面參考一些文章加上自己理解進行的推導：
$s = T(r)$

$r$爲歸一化後的顏色值，$s$爲經過$T$變換的值，且$T(r)$在區間上爲單調遞增函數，即變換後的s，也是從黑到白，反函數：
$r = T^{-1}(s)$

設$F_S(s)、F_R(r)$分別爲$S$和$R$的分佈函數，則有：
$F_S(s) = p\{S \leq s\} = p\{T(R) \leq s\} = p\{ R \leq T^{-1}(s)\} = F_R(T^{-1}(s))$

對$F_S(s) = F_R(T^{-1}(s)) = F_R(r)|_{r = T^{-1}(s)}$左右求導，$p_s(s)、p_r(r)$爲概率密度函數：
$p_s(s) = p_r(r) \frac{dr}{ds}|_{r = T^{-1}(s)}$

$\frac{ds}{dr} = \frac{p_r(r)}{p_s(s)}$

即爲所求。
均衡化後可知$p_s(s) = \frac{1}{L-1}$，對$\frac{ds}{dr} = \frac{p_r(r)}{p_s(s)}$進行積分，則：
$s = (L-1 ) \int_{0}^rp_r(w)dw=T(r)$

岡薩雷斯是先給出此公式，說這是圖像處理中特別重要的變換函數，然後求得用這公式可以得到$p_s(s) = \frac{1}{L-1}$。 可是我不知道怎麼來的，所以這裏我先用結果$p_s(s) = \frac{1}{L-1}$，帶入求得此公式。
此公式也就解釋了爲什麼累計概率$(L-1)\int_{0}^rp_r(w)dw$就是$T(r)$，即$s$。離散化比較好理解，這裏不再解釋。

說明

輸入

假設有一幅4*4 大小8灰度級的圖：

0	1	2	3
4	4	4	4
5	5	5	5
6	7	5	6

運算過程

*取整: $s_{k1} = int(s_k + 0.5)$

$r_{_k}$	$n$	$p_r(r_{_k})$	$\sum p_r(r)$	$s_{k1}$	$p_s(r_{_k})$
0	1	1/16	1/16 = 0.06	0	1/16
1	1	1/16	2/16 = 0.12	1	2/16
2	1	1/16	3/16 = 0.19	1	1/16
3	1	1/16	4/16 = 0.25	2	0
4	5	5/16	9/16 = 0.56	4	5/16
5	5	5/16	14/16 = 0.88	6	0
6	1	1/16	15/16 = 0.93	7	5/16
7	1	1/16	1	7	2/16

結果

代碼實現

用python實現

# -*- coding: utf-8 -*-

"""
    @Date: 2019-10-07
    @Written By: jiangzhigang
    @Description:
"""
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 

def equalize_hist(img, level):
    img = cv2.copyTo(img, None)
    height = img.shape[0]
    width = img.shape[1]

    color_gray = np.zeros(level, np.float)
    # n
    for i in range(height):
        for j in range(width):
            color_gray[img[i, j]] += 1
    # pr
    are = height * width
    for i in range(level):
        color_gray[i] /= are
    # sum(pr)
    for i in range(1, level):
        color_gray[i] += color_gray[i - 1]
    # sk
    for i in range(level):
        color_gray[i] = color_gray[i] * (level - 1) + 0.5
    # r -> s
    for i in range(height):
        for j in range(width):
            img[i, j] = color_gray[img[i, j]]
    return img


def show_hist(img, level, title="hist"):
    height = img.shape[0]
    width = img.shape[1]

    color_gray = np.zeros(level, np.float)
    # n
    for i in range(height):
        for j in range(width):
            color_gray[img[i, j]] += 1

    # pr
    are = height * width
    for i in range(level):
        color_gray[i] /= are

    x = np.linspace(0, level-1, level)
    y = color_gray
    plt.bar(x, y, 1, alpha=1, color='b')
    plt.title(title)
    plt.show()


img0 = cv2.imread("images/leaf.jpg", 0)
gray = cv2.resize(img0, (400, 400))
# test use
# gray = cv2.resize(img0, (4, 4))
# gray[0][0] = 0
# gray[0][1] = 1
# gray[0][2] = 2
# gray[0][3] = 3
# gray[1][0] = 4
# gray[1][1] = 4
# gray[1][2] = 4
# gray[1][3] = 4
# gray[2][0] = 5
# gray[2][1] = 5
# gray[2][2] = 5
# gray[2][3] = 5
# gray[3][0] = 6
# gray[3][1] = 7
# gray[3][2] = 5
# gray[3][3] = 4

plt.imshow(gray, cmap='gray')
plt.title('resource')
plt.show()
show_hist(gray, 256, "rec_hist")

destination = equalize_hist(gray, 256)
plt.imshow(destination, cmap='gray')
plt.title('destination')
plt.show()
show_hist(destination, 256, 'dst_hist')

# opencv 
destination_ = cv2.equalizeHist(gray)
plt.imshow(destination_, cmap='gray')
plt.title('destination_')
plt.show()
show_hist(destination_, 256, 'op_cv_hist')

結果

原圖

實現均衡化

opencv實現