深刻理解机器学习的: 目标函数，损失函数和代价函数

对于目标函数，损失函数和代价函数，重要的是理解。

基本概念：
在机器学习中，对于目标函数、损失函数、代价函数等不同书上有不同的定义。这里取如下定义
损失函数：计算的是一个样本的误差
代价函数：是整个训练集上所有样本误差的平均
目标函数：代价函数 + 正则化项

理解之间的差异
为了方便理解，现举例说明:

上面三个图的曲线函数依次为$f1(x),f2(x),f3(x)$，图中的 x 代表样本数据点，蓝线代表用来拟合数据点的函数，这三个函数分别来拟合同一批样本数据点。我们给定x，这三个函数都会输出对应的一个$f(x)$，这个输出的$f(x)$与真实值Y可能是相同的，也可能是不同的，为了表示我们拟合的好坏，我们就用一个函数来度量拟合的程度。这个函数就称为损失函数(loss function)，或者叫代价函数(cost function).

$L(y, f(x)) = (y-f(x))^2$

一般来说，损失函数越小，就代表模型拟合的越好。但是我们的目标不是让它越小越好，还要考虑一个概念叫风险函数(risk function)。风险函数是损失函数的期望，这是由于我们输入输出的(x,y)遵循一个联合分布，但是这个联合分布是未知的，所以无法计算。但是我们是有历史数据的，就是我们的训练集，$f(x)$关于训练集的平均损失称作经验风险(empirical risk)，所以我们的目标就是最小化经验风险。公式表达如下：$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_i, f(x_i))$

到这里完了吗？还没有。如果到这一步就完了的话，那我们看上面的图，那肯定是最右面的$f3(x)$的经验风险函数最小了，因为它对历史的数据拟合的最好嘛。但是我们从图上来看它肯定不是最好的，因为它过度学习历史数据，导致它在真正预测时效果会很不好，这种情况称为过拟合(over-fitting),为什么会造成这种结果？大白话说就是它的函数太复杂了，都有四次方了，这就引出了下面的概念，我们不仅要让经验风险最小化，还要让结构风险最小化。

这个时候就定义了一个函数J(f)，这个函数专门用来度量模型的复杂度，在机器学习中也叫正则化(regularization),常用的有L1， L2范数。到这一步我们就可以说我们最终的优化函数是: $min\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_i, f(x_i)) + λJ(f)$

即最优化经验风险和结构风险，而这个函数就被称为目标函数

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参考资料
https://blog.csdn.net/qq_14845119/article/details/80787753
https://blog.csdn.net/ganzhantoulebi0546/article/details/79617642
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https://blog.csdn.net/zynash2/article/details/80283396
https://blog.csdn.net/zhangjunp3/article/details/80467350
https://www.cnblogs.com/lliuye/p/9549881.html
https://www.zhihu.com/question/52398145