上《算法設計與分析》課程上課提到NP-Hard問題，以下是一些簡單的科普。
P問題與NP(Non-deterministic Polynomial )問題
所有能用多項式時間算法計算得到結果的問題，稱爲多項式問題，也就是P，所有絕對不可能用多項式時間求解的可解問題，稱爲指數型問題。當然，還有一類問題屬於不可解問題，也就是說你無論花多少時間也不能得到解答。
有這樣一類問題，假使你得到了問題的解，我要驗證你的解是否正確，我驗證所花的時間是多項式，至於求解本身所花的時間是否是多項式我不管，可能有多項式算法，可能沒有，也可能是不知道，這類問題稱爲NP問題。
NP概念的奧妙在於，它躲開了求解到底需要多少時間這樣的問題，而僅僅只是強調驗證需要多少時間，從而爲P與NP這一千年難題的產生埋下了伏筆。顯然，P肯定是NP，因爲你既然能用多項式求解，就肯定能用多項式驗證（難不成我再算一遍！），但NP是否是P誰也確定不了。另外，目前已經很明確的指數型問題也肯定不是NP。
用通俗的話來解釋，NP問題就是其解的正確性很容易被檢驗出來，這裏的很容易檢驗指的是存在一個多項式算法。
七大數學難題
1.NP完全問題
例：在一個週六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到侷促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裏掃視，並且發現宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。
生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解爲3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。
人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換爲一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克於1971年陳述的。
2.霍奇猜想
二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
3.龐加萊猜想
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮爲一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在爲此奮鬥。
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈裏·佩雷爾曼在發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。
在佩雷爾曼之後，先後有2組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛。
2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
4.黎曼假設
有些數具有不能表示爲兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱爲素數；它們在純數學及其應用中都起着重要作用。在所有自然數中，這種素數的分佈並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態。著名的黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將爲圍繞素數分佈的許多奧祕帶來光明。
黎曼假設之否認：
其實雖然因素數分佈而起，但是卻是一個歧途，因爲僞素數及素數的普遍公式告訴我們，素數與僞素數由它們的變量集決定的。具體參見僞素數及素數詞條。
5.楊-米爾斯存在性和質量缺口
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波。儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
6.納衛爾-斯托可方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨着我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨着我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧祕。
7.BSD猜想
數學家總是被諸如 那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題着迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更爲複雜的方程，這就變得極爲困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認爲，有理點的羣的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認爲，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)。相反，如果z(1)不等於0。那麼只存在着有限多個這樣的點。
參考文獻
NP-Hard問題淺談 https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51935400
世界七大數學難題： https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%83%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%9A%BE%E9%A2%98/9388677?fr=aladdin