Codeforces Round #578 (Div. 2) D. White Lines（二維差分、二維前綴和）（詳細）

題目鏈接

input

4 2
BWWW
WBBW
WBBW
WWWB

output

4

input

3 1
BWB
WWB
BWB

output

2

input

5 3
BWBBB
BWBBB
BBBBB
BBBBB
WBBBW

output

2

大致題意：

給定一個n*n的矩陣，矩陣元素非'W'即'B'，一次操作將k*k的元素全都變爲'B'，問一次操作後White Lines即一行或一列全都是'W'的Line最多有多少。

 

題解：

以sum[i][j]表示該次操作的左上角座標爲（i，j）時白線的最大數目。行和列是一樣的，下面考慮行：

• 若一行全是'B'，無論操作的左上角座標在哪，這一行都會對最終的答案貢獻1；
• 若一行不全是'B'，求出最左邊'B'的座標L，最右邊'B'的座標R，若R-L+1>k即無論怎麼操作都不能將這一行全部變爲'W'，即不會對答案產生貢獻；
• 反之，如果R-L+1<=k意味着能將這一行變爲全'W'，不過只有操作的左上角座標滿足要求時才能對答案產生貢獻。見下圖：

 

 

可以看出，操作的左上角座標的範圍是[max(1,i-k+1)，max(1,R-k+1)]爲左上角，[i，L]爲右下角的矩形區域中。

也就是說，上述情況只對sum[x][y]，（ max(1,i-k+1) <= x<= i ，max(1,R-k+1) <= y <= L）產生貢獻1。

 

列 同理。最後取最大的sum[i][j]即可。接下來是怎麼高效地實現這個過程：

前置知識：二維差分、二維前綴和

AC代碼：
 

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<string>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define e 2.71828182
#define Pi acos(-1.0)
#define ls(rt) (rt<<1)
#define rs(rt) (rt<<1|1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
const int MAXN=2e3+5;
int sum[MAXN][MAXN],n,k;
char paint[MAXN][MAXN];
int add[MAXN][MAXN];
int read()
{
	int s=1,x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') s=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*s;
}
int main()
{
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	cin>>paint[i]+1;

	for(int i=1;i<=n;++i)//處理每一行對sum[x][y]的貢獻 
	{
		int L=0,R=0;//每一行最左的B和最右的B的下標 
		for(int j=1;j<=n;++j)
		{
			if(paint[i][j]=='B')
			{
				if(L==0) L=j,R=j;
				else R=j;
			}
		}
		if(L==0) {add[1][1]++;continue;}//這一行全白，+1
		if(R-L+1>k) continue;//這一行怎麼擦也不能全白
		//二維差分相關操作 ，前綴和修改操作 
		int x1=max(1,i-k+1),y1=max(1,R-k+1),x2=i,y2=L;
		add[x1][y1]++,add[x2+1][y1]--,add[x1][y2+1]--,add[x2+1][y2+1]++; 
	}
	
	for(int j=1;j<=n;++j)
	{
		int U=0,D=0;//每一列最上的B和最下的B的下標 
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			if(paint[i][j]=='B')
			{
				if(U==0) U=i,D=i;
				else D=i;
			}
		}
		if(D==0) {add[1][1]++;continue;}//這一列全白，+1
		if(D-U+1>k) continue; //這一列怎麼擦也不能全白
		//
		int x1=max(1,D-k+1),y1=max(1,j-k+1),x2=U,y2=j;
		add[x1][y1]++,add[x2+1][y1]--,add[x1][y2+1]--,add[x2+1][y2+1]++;
	}
	
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=n;++j)
	{
		sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+add[i][j];//計算二維前綴和 
		ans=max(ans,sum[i][j]);
	}
	cout<<ans<<endl;
}

 

也可以只用一個sum數組：

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<string>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define e 2.71828182
#define Pi acos(-1.0)
#define ls(rt) (rt<<1)
#define rs(rt) (rt<<1|1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
const int MAXN=2e3+5;
int sum[MAXN][MAXN],n,k;
char paint[MAXN][MAXN];
int read()
{
	int s=1,x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') s=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*s;
}
int main()
{
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	cin>>paint[i]+1;

	for(int i=1;i<=n;++i)//處理每一行對sum[x][y]的貢獻 
	{
		int L=0,R=0;//每一行最左的B和最右的B的下標 
		for(int j=1;j<=n;++j)
		{
			if(paint[i][j]=='B')
			{
				if(L==0) L=j,R=j;
				else R=j;
			}
		}
		if(L==0) {sum[1][1]++;continue;}//這一行全白，+1
		if(R-L+1>k) continue;//這一行怎麼擦也不能全白
		//二維差分相關操作 ，前綴和修改操作 
		int x1=max(1,i-k+1),y1=max(1,R-k+1),x2=i,y2=L;
		sum[x1][y1]++,sum[x2+1][y1]--,sum[x1][y2+1]--,sum[x2+1][y2+1]++; 
	}
	
	for(int j=1;j<=n;++j)
	{
		int U=0,D=0;//每一列最上的B和最下的B的下標 
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			if(paint[i][j]=='B')
			{
				if(U==0) U=i,D=i;
				else D=i;
			}
		}
		if(D==0) {sum[1][1]++;continue;}//這一列全白，+1
		if(D-U+1>k) continue; //這一列怎麼擦也不能全白
		//
		int x1=max(1,D-k+1),y1=max(1,j-k+1),x2=U,y2=j;
		sum[x1][y1]++,sum[x2+1][y1]--,sum[x1][y2+1]--,sum[x2+1][y2+1]++;
	}
	
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=n;++j)
	{
		sum[i][j]+=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1];//計算二維前綴和 
		ans=max(ans,sum[i][j]);
	}
	cout<<ans<<endl;
}