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平衡二叉樹，又稱AVL樹，指的是左子樹上的所有節點的值都比根節點的值小，而右子樹上的所有節點的值都比根節點的值大，且左子樹與右子樹的高度差最大爲1。因此，平衡二叉樹滿足所有二叉排序（搜索）樹的性質。至於AVL，則是取自兩個發明平衡二叉樹的科學家的名字：G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis。
二叉搜索樹
平衡二叉樹是在二叉排序樹的基礎上發展而來的，那爲什麼要引入二叉搜索樹呢？
所謂二叉搜索樹（Binary Search Tree），又叫二叉排序樹，簡單而言就是左子樹上所有節點的值均小於根節點的值，而右子樹上所有結點的值均大於根節點的值，左小右大，並不是亂序，因此得名二叉排序樹。
一個新事物不能憑空產生，那二叉搜索樹又有什麼用呢？
有了二叉搜索樹，當你要查找一個值，就不需要遍歷整個序列或者說遍歷整棵樹了，可以根據當前遍歷到的結點的值來確定搜索方向，這就好比你要去日本，假設你沒有見過世界地圖，你不知道該往哪個方向走，只能滿地球找一遍才能保證一定能夠到達日本；而如果你見過世界地圖，你知道日本在中國的東邊，你就不會往西走、往南走、往北走。這種思維在搜索中被叫做“剪枝”，把不必要的分枝剪掉可以提高搜索效率。在二叉搜索樹中查找值，每次都會把搜索範圍縮小，與二分搜索的思維類似。
如下圖所示的二叉搜索樹：
要想查找到8，則是先到達根節點，其值爲5，8比5大因此繼續往右子樹上找，到達9，8比9小因此往左子樹上找，最終找到8；
要想查找4，則是先到達根節點其值爲5，4比5小因此往左子樹上找，到達1，4比1大因此往右子樹上找，到達3，4比3大因此往右子樹上找，而值爲3的節點的右子樹是空的，因此該搜索二叉樹中不存在值爲4的節點。
有了二叉排序樹就可以使插入、搜索效率大大提高了，爲什麼還要引入平衡二叉樹？
二叉搜索樹的結構與值的插入順序有關，同一組數，若其元素的插入順序不同，二叉搜索樹的結構是千差萬別的。舉個例子，給出一組數[1,3,5,8,9,13]。
若按照[5,1,3,9,13,8]這樣的順序插入，其流程是這樣的：
若按照[1,3,5,8,9,13]這樣的順序插入，其流程是這樣的：
如果在上面的二叉搜索樹中查找13，是要將所有節點都遍歷一遍的，時間複雜度就變成了O(n)，幾乎就是一個鏈表。
細心的朋友可能已經發現，插入的序列越接近有序，生成的二叉搜索樹就越像一個鏈表。
爲了避免二叉搜索樹變成“鏈表”，我們引入了平衡二叉樹，即讓樹的結構看起來儘量“均勻”，左右子樹的節點數儘量一樣多。
生成平衡二叉樹:
那給定插入序列，如何生成一棵平衡二叉樹呢？
先按照生成二叉搜索樹的方法構造二叉樹，直至二叉樹變得不平衡，即出現這樣的節點：左子樹與右子樹的高度差大於1。至於如何調整，要看插入的導致二叉樹不平衡的節點的位置。主要有四種調整方式：LL（左旋）、RR（右旋）、LR（先左旋再右旋）、RL（先右旋再左旋）。
解析：二叉樹的高度取決於高度大的子樹，爲高度大的子樹的高度+1。空樹的高度爲0。
所謂LL（左旋）就是向左旋轉一次，下圖所示爲最簡潔的左旋（插入3導致值爲1的節點不平衡）：
然而更多時候根節點並不是只有一個子樹，下圖爲複雜的LL（左旋，插入13導致值爲4的節點不平衡）：
紅色節點爲插入後不平衡的節點，黃色部分爲需要改變父節點的分支，左旋後，原紅色節點的右孩子節點變成了根節點，紅色節點變成了它的左孩子，而它原本的左孩子（黃色部分）不能丟，而此時紅色節點的右孩子是空的，於是就把黃色部分放到了紅色節點的右孩子的位置上。調整後該二叉樹還是一棵二叉排序（搜索）樹，因爲黃色部分的值大於原來的根節點的值，而小於後來的根節點的值，調整後，黃色部分還是位於原來的根節點（紅色節點）和後來的根節點之間。
RR（右旋）如下：
解析：返回的是左旋後的根節點，左旋後的根節點是原來根節點的右孩子，左旋後的根節點的左孩子需要嫁接到原來根節點的右孩子上，原來的根節點嫁接到左旋後根節點的左孩子上。temp對應上圖中值爲8的節點，root對應上圖中值爲4的節點。
所謂RR（右旋）就是向右旋轉一次，下圖所示爲最簡潔的右旋（插入1導致值爲3的節點不平衡）：
然而更多時候根節點並不是只有一個子樹，下圖爲複雜的RR（右旋，插入1導致值爲9的節點不平衡）：
紅色節點爲插入後不平衡的節點，黃色部分爲需要改變父節點的分支，右旋後，原紅色節點的左孩子節點變成了根節點，紅色節點變成了它的右孩子，而它原本的右孩子（黃色部分）不能丟，而此時紅色節點的左孩子是空的，於是就把黃色部分放到了紅色節點的左孩子的位置上。調整後該二叉樹還是一棵二叉排序（搜索）樹，因爲黃色部分的值小於原來的根節點的值，而大於後來的根節點的值，調整後，黃色部分還是位於後來的根節點和原來的根節點（紅色節點）之間。
解析：返回的是右旋後的根節點，右旋後的根節點是原來根節點的左孩子，右旋後的根節點的右孩子需要嫁接到原來根節點的左孩子上，原來的根節點嫁接到右旋後根節點的右孩子上。temp對應上圖中值爲5的節點，root對應上圖中值爲9的節點。
所謂LR（先左旋再右旋）就是先將左子樹左旋，再整體右旋，下圖爲最簡潔的LR旋轉（插入2導致值爲3的節點不平衡）：
然而更多時候根節點並不是只有一個子樹，下圖爲複雜的LR旋轉（插入8導致值爲9的節點不平衡）：
先將紅色節點的左子樹左旋，紅色節點的左子樹的根原本是值爲4的節點，左旋後變爲值爲6的節點，原來的根節點變成了左旋後根節點的左孩子，左旋後根節點原本的左孩子（藍色節點）變成了原來的根節點的右孩子；再整體右旋，原來的根節點（紅色節點）變成了右旋後的根節點的右孩子，右旋後的根節點原本的右孩子（黃色節點）變成了原來的根節點（紅色節點）的左孩子。旋轉完成後，仍然是一棵二叉排序（搜索）樹。
解析：返回的是LR旋轉後的根節點，先對根節點的左子樹左旋，再整體右旋。root對應上圖中值爲9的節點。
所謂RL（先右旋再左旋）就是先將右子樹右旋，再整體左旋，下圖爲最簡潔的RL旋轉（插入2導致值爲1的節點不平衡）：
然而更多時候根節點並不是只有一個子樹，下圖爲複雜的RL旋轉（插入8導致值爲4的節點不平衡）：
先將紅色節點的右子樹右旋，紅色節點的右子樹的根原本是值爲9的節點，右旋後變爲值爲6的節點，原來的根節點變成了右旋後根節點的右孩子，右旋後根節點原本的右孩子（藍色節點）變成了原來的根節點的左孩子；再整體左旋，原來的根節點（紅色節點）變成了左旋後的根節點的左孩子，左旋後的根節點原本的左孩子（黃色節點）變成了原來的根節點（紅色節點）的右孩子。旋轉完成後，仍然是一棵二叉排序（搜索）樹。