三門問題詳解+python模擬

最近看了一個很有趣的問題：三門問題

問題簡述：
一個抽獎遊戲。從三扇門（其中有兩扇門後羊，一扇門後是車）中選中門後有汽車的門。
參賽者一開始從3個門裏面選一個門（先不打開門）
然後主持人（主持人知曉門後的情況）把另一個門後是羊的門打開
最後只剩兩扇未知的門，問你要不要把原來的選擇換成另一扇門。

答案：
要換，換了之後，選中車的概率是2/3，選中羊的概率是1/3。

這個問題一開始看了好多解說都覺得好難理解，直到我看了李永樂老師的科普視頻之後，恍然大悟！李老師的b站視頻

疑惑：
大多數人會覺得，最後只剩2扇門（其中一扇是你一開始選的），二選一，應該是1/2的概率纔對，但是注意了。。你一開始選的門是在原來的3扇門中選的，而不是在後面的兩扇門中選的，所以這扇門是車的概率是1/3，不是1/2。主持人的操作不影響它的概率。

解答：

1. 我們先看不換的情況：
   因爲不換門，後面主持人怎麼操作，對概率沒有影響。就是三選一。
   所以：車的概率：1/3， 羊的概率：2/3

2. 換的情況：
   這裏注意，主持人把其中一扇羊門打開，所以只剩下一扇車門和一扇羊門。換門就等於改變結果。
   一開始選的如果是車的門，換了另一扇門肯定是羊的門；同理，一開始選的如果是羊的門，換了就是車。
   那我問你
   一開始選中車的概率是多少？1/3。
   一開始選中羊的概率多少？2/3。
   你說換不換？肯定換啊！因爲一開始選的很可能不是車，有2/3的概率是羊，最後換個門就反轉了，有2/3的概率是中車。
   所以：車的概率：2/3， 羊的概率：1/3

圖：

看圖也看的出來，一開始選的羊的，換門後都變成車了

總結：
不換門：中車的概率：1/3， 中羊的概率：2/3
換門：中車的概率：2/3， 中羊的概率：1/3

其實並不是條件概率，只是反轉而已。主持人把一扇羊門打開後，換門就會反轉結果。

舉一反三：
如果有100扇門，只有一扇門後是車，規則也一樣，主持人在你選了一扇門後，把另外的羊門打開，只剩兩扇門，這時候怎麼考慮呢？
只剩最後兩扇門的時候，和三門問題一樣，換門是會反轉結果的，所以換門是最好選擇，因爲你一開始有99/100的概率選中的是羊。換了之後會反轉，羊換車，變成99/100的概率選中車。
不換門：中車的概率：1/100， 中羊的概率：99/100
換門：中車的概率：99/100， 中羊的概率：1/100

題外話：
主持人那麼好都幫你把其他無關選項都排除了。肯定要換啊。。你一開始選的門中車概率比較低，很不靠譜的。

python程序模擬：

import random


class MontyHallGame:
    def __init__(self, door_cnt=3):
        self.door_cnt = door_cnt  # door_cnt >= 3
        self.door_arr = [False] * door_cnt  # False: Goat, True: Car
        self.door_arr[random.randint(0, door_cnt - 1)] = True

    def play(self, select_idx, exchange):
        if exchange:
            # 不管幾道門，最後都會只剩下兩道門給你選擇，互爲對立面，一門有車，一門有羊
            # 選了車的，換門後就是羊；同理選了羊的，換門後就是車
            # 所以只要反轉一下結果就行，不用再模擬主持人的開門操作了
            return not self.door_arr[select_idx]
        else:
            return self.door_arr[select_idx]


if __name__ == '__main__':
    game_times = 100000

    # test1
    door_cnt = 3
    print('{}道門，換與不換各自都玩{}盤遊戲'.format(door_cnt, game_times))

    # 不換門
    car_cnt = 0
    for i in range(game_times):
        game = MontyHallGame()
        select_door = random.randint(0, game.door_cnt - 1)
        result = game.play(select_door, False)
        car_cnt += 1 if result else 0
    print('不換門的情況：選中車的有{}盤，選中車的比例{}'.format(car_cnt, car_cnt / game_times))

    # 換門
    car_cnt = 0
    for i in range(game_times):
        game = MontyHallGame()
        select_door = random.randint(0, game.door_cnt - 1)
        result = game.play(select_door, True)
        car_cnt += 1 if result else 0
    print('換門的情況：選中車的有{}盤，比例{}'.format(car_cnt, car_cnt / game_times))

    print()

    # test2
    door_cnt = 10
    print('{}道門，換與不換各自都玩{}盤遊戲'.format(door_cnt, game_times))

    # 不換門
    car_cnt = 0
    for i in range(game_times):
        game = MontyHallGame(door_cnt)
        select_door = random.randint(0, game.door_cnt - 1)
        result = game.play(select_door, False)
        car_cnt += 1 if result else 0
    print('不換門的情況：選中車的有{}盤，選中車的比例{}'.format(car_cnt, car_cnt / game_times))

    # 換門
    car_cnt = 0
    for i in range(game_times):
        game = MontyHallGame(door_cnt)
        select_door = random.randint(0, game.door_cnt - 1)
        result = game.play(select_door, True)
        car_cnt += 1 if result else 0
    print('換門的情況：選中車的有{}盤，比例{}'.format(car_cnt, car_cnt / game_times))

    print()

    # test3
    door_cnt = 100
    print('{}道門，換與不換各自都玩{}盤遊戲'.format(door_cnt, game_times))

    # 不換門
    car_cnt = 0
    for i in range(game_times):
        game = MontyHallGame(door_cnt)
        select_door = random.randint(0, game.door_cnt - 1)
        result = game.play(select_door, False)
        car_cnt += 1 if result else 0
    print('不換門的情況：選中車的有{}盤，選中車的比例{}'.format(car_cnt, car_cnt / game_times))

    # 換門
    car_cnt = 0
    for i in range(game_times):
        game = MontyHallGame(door_cnt)
        select_door = random.randint(0, game.door_cnt - 1)
        result = game.play(select_door, True)
        car_cnt += 1 if result else 0
    print('換門的情況：選中車的有{}盤，比例{}'.format(car_cnt, car_cnt / game_times))

# 結果
# 3道門，換與不換各自都玩100000盤遊戲
# 不換門的情況：選中車的有33430盤，選中車的比例0.3343
# 換門的情況：選中車的有66552盤，比例0.66552
#
# 10道門，換與不換各自都玩100000盤遊戲
# 不換門的情況：選中車的有10176盤，選中車的比例0.10176
# 換門的情況：選中車的有90055盤，比例0.90055
#
# 100道門，換與不換各自都玩100000盤遊戲
# 不換門的情況：選中車的有1003盤，選中車的比例0.01003
# 換門的情況：選中車的有99019盤，比例0.99019