C++高斯消元詳解

前言

學了才發現這玩意賊簡單雖然據說是複習。

直接來

高斯消元用於解一個線性方程組，就是：
$\begin{cases} a_{1,1}\cdot x_1+a_{1,2}\cdot x_2+\cdots+a_{1,n}\cdot x_n=a_{1,n+1}\\ a_{2,1}\cdot x_1+a_{2,2}\cdot x_2+\cdots+a_{2,n}\cdot x_n=a_{2,n+1}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\cdots\\ a_{n,1}\cdot x_1+a_{n,2}\cdot x_2+\cdots+a_{n,n}\cdot x_n=a_{n,n+1}\\ \end{cases}$（其中$a$是已知量）

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我們接下來都用係數表達式（注意所有的$a_{i,n+1}$與其他$a$的含義有不同，但我們將它們放在一起）：
$\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1,n} & a_{1,n+1}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2,n} & a_{2,n+1}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,n-1} & a_{3,n} & a_{3,n+1}\\ & & & \cdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{n,n} & a_{n,n+1}\\ \end{matrix}$

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高斯消元的目的是把原方程變成這樣：
$\begin{matrix} 1 & {a_{1,2}}' & {a_{1,3}}' & \cdots & {a_{1,n-1}}' & {a_{1,n}}' & {a_{1,n+1}}'\\ 0 & 1 & {a_{2,3}}' & \cdots & {a_{2,n-1}}' & {a_{2,n}}' & {a_{2,n+1}}'\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & {a_{3,n-1}}' & {a_{3,n}}' & {a_{3,n+1}}'\\ & & & \cdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & {a_{n,n+1}}'\\ \end{matrix}$

那麼從下往上依次回代，就能得到所有的$x$值了，代碼如下：

for(int i = N; i >= 1; i--) {
    Ans[i] = A[i][N + 1];
    for(int j = N; j >= i + 1; j--)
        Ans[i] -= Ans[j] * A[i][j];
}

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所以我們枚舉$i$：將$a_{i,i}$變爲$1$（①），然後把$a_{j,i}\ (j>i)$全部變成$0$（②）。

• 對於①操作，非常簡單，把第$i$行的係數全部除以$a_{i,i}$即可；
• 對於②操作，你要根據加減消元法，用第$i$行的係數去把$a_{j,i}\ (i+1\leq j\leq n)$消爲$0$，其他不管。那就給把$a_{i,i}$變成$a_{j,i}$（$i$行其他係數按等式的性質依次變），再將第$j$行的每個係數$a_{j,k}$減掉$a_{i,k}$。即：第$j$行的每個係數$a_{j,k}$都減去$\dfrac{a_{j,i}}{a_{i,i}}\cdot a_{i,k}=a_{j,i}\cdot a_{i,k}$。

以上就是高斯消元的過程，自己照着代碼打一遍，模擬一下過程就能夠很好地理解了。

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還有一個細節，我們每次在操作①和操作②之前把$\max\limits_{j=i}^{n}a_{j,i}$所在的那行跟第$i$行換一個位置，可以減少精度誤差。

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還有一個細節，判斷無解：若當前$a_{i,i}=0$，那麼高斯消元就無法繼續了（操作②無法進行），且$x_i$也不能確定，輸出No Solution（但並不一定無解）。

代碼

洛谷 P3389【模板】高斯消元法

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>

int Read() {
    int x = 0;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9')
        c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        x = x * 10 + (c ^ 48), c = getchar();
    return x;
}

const double eps = 1e-7;

inline double Abs(const double &x) {
    return x < 0 ? -x : x;
}

inline int Comp(const double &x,const double &y) {
    if (Abs(x-y) < eps)
        return 0;
    return Abs(x) > Abs(y) ? 1 : -1;
}

const int MAXN = 100;

int N;
double A[MAXN + 5][MAXN + 5], Ans[MAXN + 5];

int main() {
    N = Read();
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= N + 1; j++)
            scanf("%lf", &A[i][j]);
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        int pos = i;
        for(int j = i + 1; j<= N; j++)
            if(Comp(A[j][i], A[pos][i]) == 1)
                pos = j;
        // 這裏找A[j][i]最大的是爲了減少精度誤差 與算法正確性無關
        if(Comp(A[pos][i], 0) == 0) {
            puts("No Solution");
            return 0;
        }
        for(int j = 1; j <= N + 1; j++)
            std::swap(A[pos][j], A[i][j]);
        // 把A[j][i]最大的那行換上去
        double tmp = A[i][i];
        for(int j = i; j <= N + 1; j++)
            A[i][j] /= tmp;
        // 操作一
        for(int j = i + 1; j <= N; j++){
            tmp = A[j][i];
            for(int k = i; k <= N + 1; k++)
                A[j][k] -= A[i][k] * tmp;
        }
        // 操作二
    }
    for(int i = N; i >= 1; i--) {
        Ans[i] = A[i][N + 1];
        for(int j = N; j >= i + 1; j--)
            Ans[i] -= Ans[j] * A[i][j];
    }
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        printf("%.2f\n", Ans[i]);
    return 0;
}