劍指-逆序對

題目描述

在數組中的兩個數字，如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個數組中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000007

輸入描述

題目保證輸入的數組中沒有的相同的數字

數據範圍：

對於%50的數據,size<=10^4

對於%75的數據,size<=10^5

對於%100的數據,size<=2*10^5

示例1

輸入

1,2,3,4,5,6,7,0

輸出

7

 

方法一、遍歷

從頭到位遍歷每一個數，將其與其他所有的數作比較，如果前一個數比後面的數小，則滿足逆序對的要求。這樣比較的時間效率是O(n^2)，再數字較多時，明顯效率較低。

 

方法二、分別比較再合併結果

我們以數組{7,5,6,4}爲例來分析統計逆序對的過程。每次掃描到一個數字的時候，我們不拿ta和後面的每一個數字作比較，否則時間複雜度就是O(n^2)，因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。

(a) 把長度爲4的數組分解成兩個長度爲2的子數組；

(b) 把長度爲2的數組分解成兩個成都爲1的子數組；

(c) 把長度爲1的子數組 合併、排序並統計逆序對 ；

(d) 把長度爲2的子數組合並、排序，並統計逆序對；

在上圖（a）和（b）中，我們先把數組分解成兩個長度爲2的子數組，再把這兩個子數組分別拆成兩個長度爲1的子數組。接下來一邊合併相鄰的子數組，一邊統計逆序對的數目。在第一對長度爲1的子數組{7}、{5}中7大於5，因此（7,5）組成一個逆序對。同樣在第二對長度爲1的子數組{6}、{4}中也有逆序對（6,4）。由於我們已經統計了這兩對子數組內部的逆序對，因此需要把這兩對子數組 排序 如上圖（c）所示， 以免在以後的統計過程中再重複統計。

接下來我們統計兩個長度爲2的子數組子數組之間的逆序對。合併子數組並統計逆序對的過程如下圖如下圖所示。

我們先用兩個指針分別指向兩個子數組的末尾，並每次比較兩個指針指向的數字。如果第一個子數組中的數字大於第二個數組中的數字，則構成逆序對，並且逆序對的數目等於第二個子數組中剩餘數字的個數，如下圖（a）和（c）所示。如果第一個數組的數字小於或等於第二個數組中的數字，則不構成逆序對，如圖b所示。每一次比較的時候，我們都把較大的數字從後面往前複製到一個輔助數組中，確保 輔助數組（記爲copy） 中的數字是遞增排序的。在把較大的數字複製到輔助數組之後，把對應的指針向前移動一位，接下來進行下一輪比較。

過程：先把數組分割成子數組，先統計出子數組內部的逆序對的數目，然後再統計出兩個相鄰子數組之間的逆序對的數目。在統計逆序對的過程中，還需要對數組進行排序。如果對排序算法很熟悉，我們不難發現這個過程實際上就是歸併排序。參考代碼如下：

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector<int> data) {
        int size = data.size();
        if(size <=1) return 0;
        
        vector<int> copy(data);
        long long ret = InversePairs2(data, copy, 0, size-1);
        
        return ret%1000000007;
    }
    
    long long InversePairs2(vector<int> &data, vector<int> &copy, int start, int end){
        if(start==end) //這一步是必須的，處理長度爲1的時刻
          {
            copy[start]=data[start];
            return 0;
          }
        int length = (end - start)/2;
        long long left = InversePairs2(copy, data, start, start+length);  //這裏注意參數copy和data的位置
        long long right = InversePairs2(copy, data, start+length+1, end);
        
        int i = start+length;
        int j = end;
        int indexOfcopy = end;
        long long count = 0;
        while(i>=start && j>=start+length+1){
            if(data[i] > data[j]){
                copy[indexOfcopy--] = data[i--];
                count += (j-start -length);
            }else{
                copy[indexOfcopy--] = data[j--];
            }
        }
        for(;i>=start;i--)
           copy[indexOfcopy--]=data[i];
        for(;j>=start+length+1;j--)
           copy[indexOfcopy--]=data[j];
        return left+right+count;
    }
};

算法新增了一個vector，和輸入的數據同樣的大小。利用O(n)的空間消耗，將時間性能減少至O(nlogn)，就是歸併排序的時間效率。

 

需要注意的地方：

1、大數問題。當輸入數據很大時，逆序對的數量也會很大，用int無法滿足數據範圍，考慮使用long long型。

2、邊界處理。處理只有一個數字時的情況。

if(start==end)
          {
            copy[start]=data[start];
            return 0;
          }

3、遞歸調用。可以看到遞歸調用InversePairs2()時，data和copy的位置發生了調換。這是因爲InversePairs2()的參數中，第一個參數表示待處理的數據，第二個參數是存放處理後的結果。在前一步處理後，copy中存放的是已經計算過並排序後的數據。這裏都是傳值的調用，數組都是直接修改。

long long left = InversePairs2(copy, data, start, start+length);