正態分佈簡單介紹

摘要
        若隨機變量X服從一個數學期望爲μ、標準方差爲$σ^2$的高斯分佈，記爲：X∼N(μ,$σ^2$)。

        其概率密度函數爲：

$f(x) = {1 \over{σ \sqrt{2 \pi}}}e^{-{(x-μ)^2 \over 2σ^2}}, -\infty<x<\infty$

        正態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又常常稱之爲鐘形曲線。我們通常所說的標準正態分佈是μ = 0,σ = 1的正態分佈。

        X的分佈函數爲：
$F(x) = {1 \over σ \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^xe^{- {(t-μ)^2 \over 2σ^2}}dt, -\infty<x<\infty$

        正態分佈由他的兩個參數唯一的決定，當μ與σ不同時就是不同的正態分佈

什麼是正態分佈
        正態分佈是一種概率分佈。正態分佈是具有兩個參數μ和σ2的連續型隨機變量的分佈，第一參數μ是遵從正態分佈的隨機變量的均值，第二個參數$σ^2$是此隨機變量的方差，所以正態分佈記作N(μ，$σ^2$)。遵從正態分佈的隨機變量的概率規律爲取μ鄰近的值的概率大 ，而取離μ越遠的值的概率越小；σ越小，分佈越集中在μ附近，σ越大，分佈越分散。
        正態分佈的密度函數的特點是：關於μ對稱，在μ處達到最大值，在正（負）無窮遠處取值爲0，在 μ±σ 處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位於x 軸上方的鐘形曲線。當 μ＝0，σ2 ＝1時，稱爲標準正態分佈，記爲N（0，1）。μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分佈。多元正態分佈有很好的性質，例如，多元正態分佈的邊緣分佈仍爲正態分佈，它經任何線性變換得到的隨機向量仍爲多維正態分佈，特別它的線性組合爲一元正態分佈。

正態分佈的主要特點

1. 集中性：正態曲線的高峯位於正中央，即均數所在的位置。
2. 對稱性：正態曲線以均數爲中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。
3. 均勻變動性：正態曲線由均數所在處開始，分別向左右兩側逐漸均勻下降。
4. 正態分佈有兩個參數，即均數μ和標準差σ，可記作N（μ，σ）：均數μ決定正態曲線的中心位置；標準差σ決定正態曲線的陡峭或扁平程度。σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平。
5. u變換：爲了便於描述和應用，常將正態變量作數據轉換。

標準正態分佈
        μ = 0,σ = 1的正態分佈稱爲標準正態分佈。其密度函數和分佈函數常用$\varphi(x),\Phi(x)表示$
$\begin{array}{l} \varphi(x) = {1 \over{\sqrt{2 \pi}}}e^{-{x^2 \over 2}}, -\infty<x<\infty \\ \Phi(x) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^xe^{- {t^2 \over 2}}dt, -\infty<x<\infty \end{array}$

        標準正態分佈的重要性在於，任何一個一般的正態分佈都可以通過線性變換轉化爲標準正態分佈.