正态分布简单介绍

摘要
        若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为$σ^2$的高斯分布，记为：X∼N(μ,$σ^2$)。

        其概率密度函数为：

$f(x) = {1 \over{σ \sqrt{2 \pi}}}e^{-{(x-μ)^2 \over 2σ^2}}, -\infty<x<\infty$

        正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又常常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

        X的分布函数为：
$F(x) = {1 \over σ \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^xe^{- {(t-μ)^2 \over 2σ^2}}dt, -\infty<x<\infty$

        正态分布由他的两个参数唯一的决定，当μ与σ不同时就是不同的正态分布

什么是正态分布
        正态分布是一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数$σ^2$是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，$σ^2$)。遵从正态分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
        正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在 μ±σ 处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x 轴上方的钟形曲线。当 μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布的主要特点

1. 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2. 对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
3. 均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
4. 正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
5. u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。

标准正态分布
        μ = 0,σ = 1的正态分布称为标准正态分布。其密度函数和分布函数常用$\varphi(x),\Phi(x)表示$
$\begin{array}{l} \varphi(x) = {1 \over{\sqrt{2 \pi}}}e^{-{x^2 \over 2}}, -\infty<x<\infty \\ \Phi(x) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^xe^{- {t^2 \over 2}}dt, -\infty<x<\infty \end{array}$

        标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.