線性時間素數篩

求N以內的所有素數時，素數篩很常用，普通的素數篩原理是所有素數的倍數（2倍以上）爲合數。代碼類似於：

#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100;
vector<bool>isp(N,true);//isp[i]表示i是否爲素數
void prime_sieve()
{
    for(int i=2;i<N;++i)
        if(isp[i])
            for(int t,k=2;(t=i*k)<N;++k)
                isp[t]=false;
}
int main()
{
    prime_sieve();
    for(int i=2;i<N;++i)
        if(isp[i])cout<<i<<endl;
}

在這種方法中很多數都會被多次標記導致浪費時間，很顯然想到每個合數能不能只標記一次呢？能，哪一次呢?最小素因子乘以最大因子那次。有幾個點：

1、一個合數可能有很多因子分解形式，其中有一個最大因子a乘以最小素因子b的分解，其中必有b<=a，這種分解就叫特殊分解吧，這種分解只有一次。

2、線性篩的思想就是，假設使用該方法篩出的所有合數，都是因爲特殊分解才被標記的，

3、具體過程是，遍歷N內的數，對於當前被遍歷的數x，現有的任一素數p都是在x之前遍歷時找到的所以不大於x

4、p*x就表示一個以p爲最小素因子以x爲最大因子的合數H，這裏H就是普通素數篩中提到的素數的倍數，問題是怎麼保證H沒有被表示爲其他的素數倍數。

新的素數篩就是解決了第四點，其實也很簡單，p整除x時就不應該繼續篩下去了。什麼意思呢，對於x，假設現有的所有素數爲{2,3,5……pa,pb,pc…}，每次要做的就是把所有素數乘以x得到的數記爲合數，現在假設pa<pb<=x且pa整除x，當標記到pa*x時就應該停下來，不妨假設x=pa*k,如果繼續標記的話下一個是pb*x=pb*pa*k=pa*(pb*k)=U，如果此時標記U的話，那麼U就不是被特殊分解標記的，U的特殊標記的最小素因子應是pa，而不是pb。

代碼如下：

#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100;
vector<bool>isp(N,true);
void linear_prime_sieve()
{
    vector<int>prime;
    for(int i=2;i<N;++i)
    {
        if(isp[i])
            prime.push_back(i);
        for(int x:prime)
        {
            if(x*i>N)break;
            isp[x*i]=false;
            if(i%x==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    linear_prime_sieve();
    for(int i=2;i<N;++i)
        if(isp[i])cout<<i<<endl;
}