前言：
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前期調試 RSA 算法相關的操作，一直想寫個掃盲文章，記錄一下相關的概念和操作流程。本文大多參考網上的內容，僅以瞭解的思路整理成文，對 RSA 算法有一個初步的認識。
1. 概述
RSA 加密算法是一種非對稱加密算法，RSA 非對稱加密存在大量的取模運算，加密速度慢，在實際應用中結合對稱加密算法一起使用，RSA 對對稱加密的私鑰進行加密。RSA 算法的可靠性由對極大整數做因數分解的難度決定。
2. 算法參數
| 參數 | 解釋 | 備註 |
|---|---|---|
| M | 明文 | |
| C | 密文 | |
| N | 模數，兩個很大的質數的乘積 | |
| E | 公鑰指數 | |
| D | 私鑰指數 | D 是 E 對於 φ(n) 的模反元素 |
| p，q | 兩個比較大的質數 | |
| (E，N) | 公鑰 | |
| (D，N) | 私鑰 | |
| （E，D，N） | 密鑰對 | |
| p q dp dq qinv | CRT模式的私鑰 | p、q 爲兩個大素數。RSA1024 算法，二者長度均爲 1024/2 = 512bit = 64byte，dp、dq 兩個參數長度也和P、Q長度相等。n =p * q長度爲 1024 bit（128byte），d 爲私鑰參數；e 爲公鑰指數(一般使用 65537 - 0x010001) |
3. 加密
RSA 加密是對明文的 E 次方後除以 N 後求餘數的過程，有了 E和 N 就可以完成 RSA 加密，E、N 是 RSA 加密的密鑰，即 E 和 N 的組合爲公鑰。
4. 解密
對密文進行 D 次方後除以 N 的餘數就是明文，即 RSA 解密過程。D和 N 就能進行解密，D 和 N 的組合爲私鑰。
5. 歐拉函數與模反元素
5.1 歐拉函數
任意給定正整數 n，計算在小於等於 n 的正整數之中，有多少個與 n 構成互質關係？計算這個值的方法就叫做歐拉函數，以 φ(n) 表示。
若一個數 n 可以分解爲兩個質數 p 和 q 的乘積，則有：
eg：在1~8 中，與 8 構成互質數的有：1、3、5、7，即 φ(8) = 4。
5.2 模反元素
6. 計算過程
6.1 N 值
假設 p =61，q = 53； n = 3233。
兩個比較大質數 p，q 的乘積爲 N。
6.2 φ(n) 值
根據 φ(n) = (p-1) * (q-1) 代入計算n的歐拉函數值。
φ(3233) = (61-1) × (53-1) = 60 × 52 = 3120
6.3 e 值
在 1 < e < φ(n) 之間，隨機選擇一個整數 e，且 e 與 φ(n) 互質，選擇 e = 17。
6.4 e 對於 φ(n) 的模反元素 d
因爲 e 與 φ(n) 互質，根據求模反元素的公式計算 e，對於 e 的模反元素 d 有：
ed ≡ 1 (mod φ(n)) 等價於 (ed - 1) / φ(n) = k（k爲任意正整數）
ed - kφ(n) = 1
代入數據得：
17d - 3120k = 1 對這個不定方程求解（擴展歐幾里得算法）得：
其中一組解爲：(d, k)=(2753, 15)
至此，我們就得到了 RSA 的三個參量，即 n = 3233，e = 17，d = 2753。所以公鑰爲（3233，17）；私鑰爲（3233，2753）。而我們所說的 RSA1024，2048 就是指密鑰對的長度（n的長度）。本例，長度就是 3233 = 1100 1010 0001，即爲 12 位。
6.5 加解密過程
（1）明文 m = 65；
（2）公鑰 (n, e) = (3233, 17)
（3）加密 c = (m^e mod n) = ( (65 ^17) mod 3233) = 2790
（4）私鑰 (n, d) = (3233, 2753)
（5）解密 m = (c^d mod n) = ((2790 ^2753) mod 3233) = 65
由上述過程可知，只要私鑰不泄露，密文正常渠道是無法破解的，祕鑰長度越長，破解的難度越大。