前言：
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前期调试 RSA 算法相关的操作，一直想写个扫盲文章，记录一下相关的概念和操作流程。本文大多参考网上的内容，仅以了解的思路整理成文，对 RSA 算法有一个初步的认识。
1. 概述
RSA 加密算法是一种非对称加密算法，RSA 非对称加密存在大量的取模运算，加密速度慢，在实际应用中结合对称加密算法一起使用，RSA 对对称加密的私钥进行加密。RSA 算法的可靠性由对极大整数做因数分解的难度决定。
2. 算法参数
| 参数 | 解释 | 备注 |
|---|---|---|
| M | 明文 | |
| C | 密文 | |
| N | 模数，两个很大的质数的乘积 | |
| E | 公钥指数 | |
| D | 私钥指数 | D 是 E 对于 φ(n) 的模反元素 |
| p，q | 两个比较大的质数 | |
| (E，N) | 公钥 | |
| (D，N) | 私钥 | |
| （E，D，N） | 密钥对 | |
| p q dp dq qinv | CRT模式的私钥 | p、q 为两个大素数。RSA1024 算法，二者长度均为 1024/2 = 512bit = 64byte，dp、dq 两个参数长度也和P、Q长度相等。n =p * q长度为 1024 bit（128byte），d 为私钥参数；e 为公钥指数(一般使用 65537 - 0x010001) |
3. 加密
RSA 加密是对明文的 E 次方后除以 N 后求余数的过程，有了 E和 N 就可以完成 RSA 加密，E、N 是 RSA 加密的密钥，即 E 和 N 的组合为公钥。
4. 解密
对密文进行 D 次方后除以 N 的余数就是明文，即 RSA 解密过程。D和 N 就能进行解密，D 和 N 的组合为私钥。
5. 欧拉函数与模反元素
5.1 欧拉函数
任意给定正整数 n，计算在小于等于 n 的正整数之中，有多少个与 n 构成互质关系？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以 φ(n) 表示。
若一个数 n 可以分解为两个质数 p 和 q 的乘积，则有：
eg：在1~8 中，与 8 构成互质数的有：1、3、5、7，即 φ(8) = 4。
5.2 模反元素
6. 计算过程
6.1 N 值
假设 p =61，q = 53； n = 3233。
两个比较大质数 p，q 的乘积为 N。
6.2 φ(n) 值
根据 φ(n) = (p-1) * (q-1) 代入计算n的欧拉函数值。
φ(3233) = (61-1) × (53-1) = 60 × 52 = 3120
6.3 e 值
在 1 < e < φ(n) 之间，随机选择一个整数 e，且 e 与 φ(n) 互质，选择 e = 17。
6.4 e 对于 φ(n) 的模反元素 d
因为 e 与 φ(n) 互质，根据求模反元素的公式计算 e，对于 e 的模反元素 d 有：
ed ≡ 1 (mod φ(n)) 等价于 (ed - 1) / φ(n) = k（k为任意正整数）
ed - kφ(n) = 1
代入数据得：
17d - 3120k = 1 对这个不定方程求解（扩展欧几里得算法）得：
其中一组解为：(d, k)=(2753, 15)
至此，我们就得到了 RSA 的三个参量，即 n = 3233，e = 17，d = 2753。所以公钥为（3233，17）；私钥为（3233，2753）。而我们所说的 RSA1024，2048 就是指密钥对的长度（n的长度）。本例，长度就是 3233 = 1100 1010 0001，即为 12 位。
6.5 加解密过程
（1）明文 m = 65；
（2）公钥 (n, e) = (3233, 17)
（3）加密 c = (m^e mod n) = ( (65 ^17) mod 3233) = 2790
（4）私钥 (n, d) = (3233, 2753)
（5）解密 m = (c^d mod n) = ((2790 ^2753) mod 3233) = 65
由上述过程可知，只要私钥不泄露，密文正常渠道是无法破解的，秘钥长度越长，破解的难度越大。