2019金华Day18-dp专项

经典揹包问题

01揹包和无限揹包略过
多重揹包的优化
这能优化到$O(nm)$？！
$($我们以求方案数为例$)$
设第i种物品有$c[i]$个,重量为$w[i]$
$f[i][j]\!=\!\sum_{k=0}^{c[i]}\!f[i\!-\!1][j\!-\!k\cdot w[i]]$
这是最基本的暴力，然后考虑优化
我们写一个类似前缀和的东西
设$g[i][j]\!=\!f[i\!-\!1][j]+g[i\!-\!1][j\!-\!w[i]]$
那么$f[i][j]\!=\!g[i][j]-g[i][j\!-\!(k[i]\!+\!1)\cdot w[i]]$
自此可以优化到$O(nm)$
$Ps:$若用二进制拆分来优化，就不能统计方案，比如说对于5会拆成{1,2,2},那么再算选两个时就会统计两次。
小习题：
1. 考虑01揹包问题，有Q种操作，每次加入一种物品或删除一种物品，每次操作完后输出不超过S的方案数
$n,Q,S\!\leq\!2000$
我们假设这个数重量为$w$
对于加入这个数的操作：
$for\ i\!:\!S\ downto\ w\\ f[i]+\!=f[i-w]$
对于删除这个数的操作：
$for\ i\!:\!w\ to\ S\\ f[i]-\!=f[i-w]$
时间复杂度$:O(nS)$
2. 树上依赖01揹包：如果儿子选了，则父亲必须要选
这是一个很强的限制
思考后就会发现，这相当于在树上选择一个包含根节点的连通块
那么我们通过dfs序把原问题转化到序列上
我们设$f[i][1]$表示选第$i$个点,$f[i][0]$表示不选第$i$个点
考虑$f[i][1]$的转移 $f[i][1]+\!=\!f[fa[i]][1]$
考虑$f[i][0]$的转移 $f[i][0]+\!=\!f[ed[i]-1][0]$
$($未完待续$)$