容斥 組合計數

雙射

單射 ：不存在A中有兩個元素 和 B 中同一個元素對應
滿射 ：B中每一個元素都在A中有對應的元素
單射 + 滿射 = 雙射
雙射一定滿足$|A|\!=\!|B|$

Lucas定理

$Lucas$定理是用來求$c(n,m) mod\,p$的值.$($p是素數$)$
表達式如下：
$C(n,m)\%p=C(n/p,m/p)*C(n\%p,m\%p)\%p$
可遞歸實現，時間複雜度：$O(plog_p(n))$,大致可認爲是$O(plogn)$

容斥的擴展公式

有集合 $S_1... S_n$ 求 $\bigcup_{i=1}^nS_i$
$\bigcup_{i=1}^nS_i \!= \sum_{T\in S}|\bigcap_{i\in T}S_i|*(-1)^{|T|-1}$
小練習
$n$個整數變量$x_i$滿足$0\!\leq\!x_i\!\leq\! c_i$
求$x$的和等於$m$的方案數

$n*m\!\leq\!10^6$
$n\!\leq\!20,m\!\leq\!10^9$

Min_Max容斥

有時$max$的期望非常不好算，但是$min$的期望很好算，那麼就可以把求$max$的期望轉化成求$min$的期望
$max(a,b)=a+b-min(a,b)$
$max(S)=\sum_{r\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T)$
同樣的 $E(max(S))=E(\sum_{r\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T))$

小練習
有$n$種卡片，每一秒都有$p_i$的概率獲得第i種卡片，求每張卡片都至少有一張的期望時間
$n\leq20$

第一類斯特林數

$s(n,k)$表示把$n$個數的排列中有$k$個環的方案數

遞推
考慮第$n$個數放在了哪裏
$1.$自己成爲一個環，方案爲$s(n−1,k−1)$
$2.$插入之前的環中，那麼一共有$n-1$的位置，所以方案爲$s(n−1,k)\!\cdot\!k$
綜上
$s(n,k)\!=\!s(n-1,k-1)\!+\!(n-1)\!\cdot\! s(n-1,k)$

小練習
求$n$個人分配到$k$個圓桌上，圓桌旋轉相等的方案數，即只關心每個人左邊的人是誰
$n,k\!\leq\!1000$
$s(n,k)=\sum_{i=0}^ns(n-i,k-1)\cdot\frac{(n-1)!}{(n-i)!}\\ \frac{1}{(n-1)!}\cdot s(n,k)=\sum_{i=0}^n s(n-i,k-1)\cdot\frac{1}{(n-i)!}$
$使f(n,k)=\sum_{i=0}^n\frac{s(i,k)}{i!}\\ 那麼\frac{1}{(n-1)!}s(n,k)\!=\!f(n-1,k-1)\\ 更新f(n,k)\!=\!f(n-1,k)+\frac{s(n,k)}{n!}$

第二類斯特林數

設$S(n,m)$表示把$n$個不同的球放到$m$個相同的盒子裏，且不允許盒子爲空的方案數
稱$S$爲第二類斯特靈數

遞推：
考慮第$n$個球放到了哪裏
$1.$自己佔一個盒子，方案爲$S(n−1,m−1)$
$2.$和之前的元素共佔$m$個盒子，方案爲$S(n−1,m)\!\cdot\!m$，最後的係數是考慮放在不同位置。
這裏我們認爲$\{1\}\{2 4\}\{3\}$與$\{1\}\{2\}\{3 4\}$是不同的方案
而$\{1\}\{2 4\}\{3\}$與$\{1\}\{3\}\{2 4\}$是相同的方案
綜上
$S(n,m)\!=\!S(n−1,m−1)\!+\!S(n−1,m)\!\cdot\!m$
$邊界條件S(0,0)\!=\!1$

---

容斥
$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum^m_{k=0}(−1)^k\cdot C(m,k)\cdot(m−k)^n$
也比較好理解，我們去枚舉一個空盒子的個數
答案 = 無視空盒子放的方案 - 至少有一個盒子爲空的方案 + 至少有兩個盒子爲空的方案 + …
這個式子可以用$FFT$優化，因此我們可以在$O(nlogn)$的複雜度內得到一行的斯特林數

小練習
$Bell Numbers$ - $CF568B$
求$n$個數分成若干個集合的方案數
$B(n)=\sum_{i=1}^{n}S(n,i)$

---

歐拉數

$n$個數的排列字其中有$k$個數滿足$p_i<p_{i+1}$的排列個數
遞推求解
$E(n,k)=(k+1)\!\cdot\!E(n-1,k)\!+\!(n-k)\!\cdot\!E(n-1,k-1)$

數位dp

數位$dp$是計數類$dp$的一種，其基本問題爲求一段區間內滿足特定限制的數的個數。
其思路是在數位上進行$dp$，通常在十進制或二進制上進行。
在$dp$時可能需要記錄：當前在第幾位，上一個數字是什麼，和題目有關的一些信息，當前位是否和限制相等等。
注意：
如果是多個整數，可能需要記錄進位，借位等
注意前導零的問題$($這玩意細節很多$)$
小練習
$1.$給定一個區間$[l,r]$,問$l$到$r$的整數中有幾個轉換成二進制數後$0$比$1$多$($不計前導零$)$ $(POJ3252)$
$1\!\leq\!l\!<\!r\!\leq\!2\!\cdot\!10^9$

---

$2.$求$l$到$r$之間且能被它的十進制表示的每個數字整除的數的個數。
如$24$是滿足條件的，因爲$24$是$2$和$4$的倍數。$(CF 55D)($時限:$4s$$)$
$1\!\leq\!l\!<\!r\!\leq\!9\!\cdot\!10^{18}$
提示：$2520\!=\!lcm(1,2,3...9)$,所以根據一個數對$2520$取模後的值可以判斷這個數是否整除$1...9$中的數

---

$3.$有一個物品重量爲$w$，現在你有$1,2,4,...,2^n$重量的砝碼各一個，問有多少種方法可以使天平平衡，$w$以二進制給出。$(POJ3971)$
$n\!\leq\!1000000,w\!\leq\!2^n$
思考後，題意就是讓我們找一個$x$和$y$，使得$w\!+\!x\!=\!y,x\&y\!=\!0$