樹和二叉樹——二叉樹

1、二叉樹的定義
二叉樹是n（n≥0）個結點的有限集合，該集合或者爲空集（稱爲空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱爲根結點的左子樹和右子樹的二叉樹組成。
2、二叉樹的特點
⑴ 每個結點最多有兩棵子樹；
⑵ 二叉樹是有序的，其次序不能任意顛倒。
注意：二叉樹和樹是兩種樹結構。
3、二叉樹的基本形態


4、特殊的二叉樹



在滿二叉樹中，從最後一個結點開始，連續去掉任意個結點，即是一棵完全二叉樹。
完全二叉樹的特點：
葉子結點只能出現在最下兩層，且最下層的葉子結點都集中在二叉樹的左部；
完全二叉樹中如果有度爲1的結點，只可能有一個，且該結點只有左孩子。
深度爲k的完全二叉樹在k-1層上一定是滿二叉樹。
5、二叉樹的性質
性質5-1：二叉樹的第i層上最多有2i-1個結點（i≥1）。
性質5-2： 一棵深度爲k的二叉樹中，最多有2k-1個結點，最少有k個結點。
每一層至少要有一個結點，因此深度爲k的二叉樹，
至少有k個結點。
深度爲k且具有2k-1個結點的二叉樹一定是滿二叉樹，
深度爲k且具有k個結點的二叉樹不一定是斜樹。
性質5-3：在一棵二叉樹中，如果葉子結點數爲n0，度爲2的結點數爲n2，則有: n0＝n2＋1。
在有n個結點的滿二叉樹中，有多少個葉子結點？
因爲在滿二叉樹中沒有度爲1的結點，只有度爲0的葉子結點和度爲2的分支結點，所以，n＝ n0 + n2，n0＝n2 + 1 ，即葉子結點n0＝（n + 1）/2 。
性質5-4：具有n個結點的完全二叉樹的深度爲 log2n +1。
假設具有n個結點的完全二叉樹的深度爲k，根據完全二叉樹的定義和性質2，有下式成立:2(k-1) ≤ n ＜ 2(k)。（爲次方）
性質5-5 ： 對一棵具有n個結點的完全二叉樹中從1開始按層序編號，則對於任意的序號爲i（1≤i≤n）的結點（簡稱爲結點i），有：
（1）如果i＞1，
則結點i的雙親結點的序號爲 i/2；如果i＝1，
則結點i是根結點，無雙親結點。
(2)如果2i≤n，
則結點i的左孩子的序號爲2i；
如果2i＞n，則結點i無左孩子。
(3)如果2i＋1≤n，
則結點i的右孩子的序號爲2i＋1；如果2i＋1＞n，則結點 i無右孩子。